【题干】
解：由抛物线 \( y = -x^{2} + 2x + 3 = -(x + 1)(x - 3) \) 可知，点 \( A(-1, 0) \)，点 \( B(3, 0) \)，点 \( C(0, 3) \)，
\(\therefore\) 直线 \( BC \) 的表达式为 \( y = -x + 3 \)，
设点 \( P(t, -t^{2} + 2t + 3)(0 < t < 3) \)，则 \( D(t, -t + 3) \)，
\(\therefore PQ = -t^{2} + 2t + 3 \)，\( PD = -t^{2} + 2t + 3 - (-t + 3) = -t^{2} + 3t \)，\( QD = -t + 3 \)，
\(\because PD = 2QD \)，\(\therefore -t^{2} + 3t = 2(-t + 3) \)，化简为 \( t^{2} - 5t + 6 = 0 \)，\(\therefore t = 2 \) 或 \( t = 3 \)（舍去），
\(\therefore PQ = -t^{2} + 2t + 3 = -2^{2} + 2\times 2 + 3 = 3 \)。

【图形描述】
本题涉及直角坐标系，抛物线 \( y = -x^{2} + 2x + 3 \) 开口向下，经过第一、二、四象限。