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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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typedef long long LL;
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/**前导知识:
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裴蜀定理： 对于任意正整数a,b,一定存在非零整数x,y,使得ax+by=gcd(a,b)
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证明：因为 gcd(a,b)|a,同时gcd(a,b)|b,就是说a是gcd(a,b)的倍数，b也是gcd(a,b)的倍数，所以a+b也一定是gcd(a,b)的倍数。
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假如我们找到这个最小的倍数是1，那么就是ax+by=gcd(a,b)
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*/
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/**
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* 功能：扩展欧几里德算法模板
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* @param a 第一个数字
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* @param b 第二个数字
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* @param x a的系数，按地址传入，因为最终要一并返回这个值x
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* @param y b的系数，按地址传入，因为最终要一并返回这个值x
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* @return a,b的最大公约数
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*/
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int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
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if (!b) { //如果b==0
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x = 1, y = 0; //a与0的最大公约数肯定是0，所以给出一个最小解即可，比如x=1,y=0。
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return a;
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}
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//如果b!=0
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int d = exgcd(b, a % b, y, x);//d是最大公约数,这里a和b颠倒了，所以系数也需要翻转一下
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//下面的是重点，在变换过程中，系数会发生变化：
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/**
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1、现在 by+(a%b)x=gcd(a,b)
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2、a % b=a- ⌊a/b⌋ * b 这个是定义，就是把 a里面的b的整数倍都减出去，剩下的就是余数。⌊a/b⌋ 下取整的意思。
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3、将 2式代入1式，就是
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by+(a- ⌊a/b⌋ * b)x = gcd(a,b)
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b(y-⌊a/b⌋*x)+a*x=gcd(a,b)
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也就是说：a的系数x没有变化，b的系数变化为 y-⌊a/b⌋*x ,也就是 y=y-a/b *x,再简写一下： y-= a/b *x
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*/
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y -= a / b * x;
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return d;
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}
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//利用扩展欧几里德求逆元
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int inv(int a, int b) {
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int x, y;
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int gcd = exgcd(a, b, x, y);
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//m与n不互质，乘法逆元不存在
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if (1 != gcd) return -1;
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else return (x + b) % b; //为了使余数一定为正数,模运算系统的特性
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}
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int main() {
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cout << inv(13, 10) << endl;
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return 0;
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} |
