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P1045 [NOIP2003 普及组] 麦森数
一、前导知识
高精度乘法
老师将高精乘高精，高精乘低精想办法合并成了一个模板
没错应该看的出来，高精度乘法其实就是一位一位去乘，然后按位存储在数组里面，思路差不多就是这样。
由于位数比较多，我们用字符串来进行输入，处理后按位存到整型数组中。
我们用下标来确定存数组的位置，从图中也可以看出a[i]*b[j]就存在[i + j - 1]的位置上，然后每一位都进行累加（这里的累加是指同一位的累加，如a[2]*b[1]和a[1]*b[2]是存在同一位上的，就是都在c[2]中进行累加），累加完毕后再处理进位，最后倒序输出就可以噜~
高精度乘高精度模板
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], al;
int b[N], bl;
//高精度乘高精度模板
void mul(int a[], int &al, int b[], int bl) {
int c[N] = {0}, cl = al + bl;
for (int i = 1; i <= al; i++)
for (int j = 1; j <= bl; j++)
c[i + j - 1] += a[i] * b[j];
int t = 0;
for (int i = 1; i <= al + bl; i++) {
t += c[i];
c[i] = t % 10;
t /= 10;
}
//前导0
while (cl > 1 && c[cl] == 0) cl--;
//将C数组复制回A数组
memcpy(a, c, sizeof c);
al = cl;
}
int main() {
string x, y;
cin >> x >> y;
for (int i = x.size() - 1; i >= 0; i--) a[++al] = x[i] - '0';
for (int i = y.size() - 1; i >= 0; i--) b[++bl] = y[i] - '0';
mul(a, al, b, bl);
for (int i = al; i; i--) printf("%d", a[i]);
return 0;
}
快速幂
一、什么是快速幂
答：快速求出 a^k 的结果！
二、快速幂的原理
答：快速幂算法的原理是通过将指数拆分成几个因数相乘的形式，来简化幂运算。在我们计算3^{13} 的时候，普通的幂运算算法需要计算13次，但是如果我们将它拆分成3^{8+4+1} ，再进一步拆分成 只需要计算4次。嗯？哪来的4次？，别急，接着看。
这种拆分思想其实就是借鉴了二进制与十进制转换的算法思想，我们知道13的二进制是1101，可以知道：
13=1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 = 8 + 4 + 1
原理就是利用位运算里的位移“>>”和按位与“&”运算，代码中k\&1其实就是取k二进制的最低位，用来判断最低位是0还是1，再根据是0还是1决定乘不乘，不理解的话联系一下二进制转换的过程。
k >>= 1其实就是将k的二进制向右移动一位，就这样位移、取最低位、位移、取最低位，这样循环计算，直到指数k为0为止，整个过程和我们手动将二进制转换成十进制是非常相似的。
普通幂算法是需要循环指数次，也就是指数是多少就要循环计算多少次，而快速幂因为利用了位移运算，只需要算“指数二进制位的位数”次，对于13来说，二进制是1101，有4位，就只需要计算4次，快速幂算法时间复杂度是O(logn)级别，对于普通幂需要计算一百万次的来说，快速幂只需要计算6次，这是速度上质的飞跃，但是需要多注意溢出的问题。
三、简单粗暴快速幂（可用于结合高精度乘法）
int qmi(int a, int k) {
int res = 1;
while (k) {
if (k & 1) res = res * a;
k >>= 1;
a = (LL) a * a;
}
return res;
}
cout<<qmi(3,4)<<endl;
四、带取模的快速幂
// 快速幂 (a^k)%p
int qmi(int a, int k, int p) {
int res = 1; //答案
while (k) { //一路让k变小直到为0停止
if (k & 1) res = (LL) res * a % p; //如果k的个位是1的话
k >>= 1; //右移一位
a = (LL) a * a % p; //1-2-4-8-16，就是每进一位，是把a=a*a,注意使用long long 防止在乘积过程中爆了int
}
return res;
}
qmi(a, k, p));
五、高精度结合快速幂
int a[N], al;
int b[N], bl;
void mul(int a[], int &al, int b[], int &bl) {
int c[N] = {0}, cl = al + bl;
for (int i = 1; i <= al; i++)
for (int j = 1; j <= bl; j++)
c[i + j - 1] += a[i] * b[j];
int t = 0;
for (int i = 1; i <= al + bl; i++) {
t += c[i];
c[i] = t % 10;
t /= 10;
}
memcpy(a, c, sizeof c);
al = cl;
//前导0
while (al > 1 && a[al] == 0) al--;
}
//快速幂+高精度 x^y
void qmi(int x, int y) {
a[++al] = 1, b[++bl] = x;
while (y) {
if (y & 1) mul(a, al, b, bl);
y >>= 1;
mul(b, bl, b, bl);
}
}
二、本题思路
这道题可以分为两个模块，第一个模块为求的位数，第二个模块为求的后500位（不足补零）。
1、求2^p-1的位数
首先我们知道\large 2^p-1与\large 2^p有着相同的位数，因为2的次方满足了最后一位不为零的要求，所以减一后位数并不会改变，那么我们可以直接求\large 2^p的位数。
怎么求位数呢？设\large k=2^p，根据10^n的位数为n+1，我们只要想办法把k=2^p中的底数2改为10，指数加一就是位数了。由此想到用10的几次方来代替2，那么就不难想到10^{log_{10}2}=2，这样便可以把k=2^p中的2代换掉，变为\large k=(10^{log_{10}2})^p$$。
根据乘方的原理，将p乘进去，原式便可化为我们最终想要的形式
\large k=10^{log_{10}2*p} 所以：
\large 位数=log_{10}2*p+1
（提醒一下，C++中cmath库自带log10()函数...）
2、保留500位
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], al;
int b[N], bl;
void mul(int a[], int &al, int b[], int &bl) {
int c[N] = {0}, cl = al + bl;
for (int i = 1; i <= al; i++)
for (int j = 1; j <= bl; j++)
c[i + j - 1] += a[i] * b[j];
int t = 0;
for (int i = 1; i <= al + bl; i++) {
t += c[i];
c[i] = t % 10;
t /= 10;
}
//将C数组复制回A数组
memcpy(a, c, sizeof c);
al = min(500, cl); //只保留最大500个长度,不加这句话，会有3个点TLE掉
//前导0
while (al > 1 && a[al] == 0) al--;
}
//快速幂+高精度 x^y
void qmi(int x, int y) {
a[++al] = 1, b[++bl] = x;
while (y) {
if (y & 1) mul(a, al, b, bl);
y >>= 1;
mul(b, bl, b, bl);
}
}
int main() {
//计算 2^y-1的值
int y;
cin >> y;
//利用快速幂，计算2^y
qmi(2, y);
//最后一位减去一个1，因为2^k最后一位肯定不是0，所以减1不会产生借位，直接减去即可！
a[1]--;
//一共多少位
printf("%d\n", (int)(y * log10(2) + 1));
for (int i = 500; i; i--) {
printf("%d", a[i]);
//该换行了,就是到了第二行的行首
if ((i - 1) % 50 == 0) puts("");
}
return 0;
}