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树状数组

一、树状数组介绍

树状数组 是一种数据结构，它可以 快速计算前缀和 并 支持动态维护。与普通的前缀和数组相比，树状数组的 优势 在于它能够在O(logn)的时间复杂度内 更新单个元素的值，同时仍然能够在O(logn)的时间复杂度内 计算前缀和。这使得树状数组在 处理动态数据 时非常高效：

与普通前缀和区别

• 树状数组: 较快的修改时间O(log_2N)+较快的查询时间O(log_2N)
• 普通前缀和：较慢的修改时间O(N)+极快的查询时间O(1)

使用场景

1. 单点更新与查询 树状数组支持在指定位置 更新元素，并且很快地查询更新后的结果。

   • 例子：使用树状数组来计算数组nums = [0, 0, 0, 0, 0]中某个位置i之前的所有元素和。首先执行单点更新操作update(2, 5)，将位置2的元素更新为5。然后执行查询操作query(4)，即查询位置4之前的元素和，结果为 0 + 0 + 5 + 0 = 5。

2. 区间更新与查询 树状数组借助 差分思想 还可以 支持对指定区间内的元素进行更新，并且快速查询更新后的结果。

   • 例子：使用树状数组来计算数组nums = [0, 0, 0, 0, 0]中某个区间[l, r]内的所有元素和。首先执行区间更新操作rangeUpdate(2, 4, 2)，即将位置2到位置4的元素都加2,对应的差分数组：[0,2,0,0,-2],则从2到4都加上了2,然后在第5个位置将这个2扣除掉，防止对后续带来影响。
   • 注：理解的不是特别通透，需要完成复习后再回顾一下。

3. 数组逆序对统计 树状数组可以高效地计算数组中的逆序对个数。

   • 例子：给定数组nums = [5, 2, 6, 1, 3, 4]，使用树状数组来统计逆序对的数量。逆序对是指数组中的一对元素(i, j)，其中 i < j 且 nums[i] > nums[j]。经过计算得到逆序对的数量为 4。
   • 注：求逆序对，一般采用归并排序或者树状数组， 一般不使用线段树，常数太大。

4. 维护最大、最小值 树状数组维护最大值的思路与维护前缀和类似。我们可以建立一个树状数组，其中每个节点存储它所代表的区间的最大值。在 更新 元素时，我们需要 沿着树状数组的路径向上更新 所有受影响的节点，以保证它们存储的最大值始终正确。在 查询 区间最大值时，我们可以将查询区间分解为若干个小区间，然后 查询这些小区间 在树状数组中对应节点的 最大值，最后 取所有查询结果的最大值 作为最终结果。

二、前置知识

lowbit()运算：非负整数x在二进制表示下最低位1及其后面的0构成的数值

举个栗子： lowbit(12)=lowbit([1100]_2)=[100]_2=4

Code

int lowbit(int x){
    return x & -x;
}

三、树状数组结构

树状数组的本质思想是使用 树结构 维护 前缀和 ，从而把时间复杂度降为O(log_2n)。

① 每个节点t[x]保存以x为根的 子树中叶节点值的和 ② 每个节点覆盖的长度 为lowbit(x) ③ t[x]节点的父节点为t[x + lowbit(x)] ④ 树的深度为log_2n+1

四、树状数组操作

• add(x, k)表示将序列中第x个数加上k。

以add(3, 5)为例： 在整棵树上维护这个值，需要一层一层向上找到父节点，并将这些节点上的c[x]值都加上v，这样保证计算区间和时的结果正确。时间复杂度为O(log_2n)。

void add(int x, int v){
    for(int i = x; i < N; i += lowbit(i)) c[i] += v;
}

• sum(x)表示将查询序列前x个数的和

以sum(7)为例： 查询这个点的前缀和，需要从这个点向左上找到上一个节点，将加上其节点的值。向左上找到上一个节点，只需要将下标 x -= lowbit(x)，例如 7 - lowbit(7) = 6,6-lowbit(6)=4,4-lowbit(4)=0。 也就是sum(7)只需要累加上图中黄色方框部分t[]保存的区间和即可。

int sum(int x){
    int sum = 0;
    for(int i = x; i; i -= lowbit(i))  sum += c[i];
    return sum;
}

五、题单

洛谷 P3374 【模板】树状数组 1 【基础模板,两个基础概念：位置+值】

HDU1166 敌兵布阵 【基础模板,两个基础概念：位置+值】

AcWing 788. 逆序对的数量
【逆序对=树状数组+由小到大排序+去重离散化+二分+小的先进树状数组就找在当前元素右侧数字个数】

POJ 3067 Japan 【二维逆序对,结构体按一维由小到大，二维由小到大排序，不使用离散化】

P1966 [NOIP2013 提高组] 火柴排队 【逆序对，离散化，位置+高度，按高度由小到大排序，由小到大，逐个进入树状数组，找出所有先进入但位置在我右侧的元素数量】

POJ 2299 Ultra-QuickSort 【原地静态数组离散化,由小到大排序，配合lower\_bound,比我小，并且序号在我后面的统计个数】

P2345 [USACO04OPEN] 奶牛集会 【两个树状数组，一个用于维护奶牛的坐标和，一个用于维护奶牛前后的个数，数学分析式子】

P3368 【模板】树状数组 2 【区间修改,单点查询,树状数组维护差分，求和就是变化值，sum(k)+a[k]】

AcWing 242. 一个简单的整数问题 【区间修改,单点查询,树状数组维护差分，求和就是变化值，sum(k)+a[k]】

LOJ 10117「一本通 4.1 练习 2」简单题 【区间修改,单点查询,树状数组维护差分，求和就是变化值，sum(k)+a[k]】

LOJ 10115. 「一本通 4.1 例 3」校门外的树 【左右括号问题，两个树状数组，分别记录左括号个数，右括号个数】

AcWing 241 楼兰图腾 【树状数组+及时统计并用数组记录+动态单点修改】

POJ 2352 Stars 【扫描线+树状数组】

AcWing 243. 一个简单的整数问题2 【区间修改、区间查询(利用差分+推公式)】

与上面是同一道题 P3372 【模板】线段树1 POJ 3468 A Simple Problem with Integers 注：其实【区间修改，区间查询】还得是线段树，用树状数组+推公式的办法也可以做，但不是正解

HDU 1754 I Hate It 【树状数组求最大最小值模板题】

POJ 3264 Balanced Lineup 【树状数组求最大最小值,在上面的题目上同时加上求最大和求最小】

AcWing 244. 谜一样的牛 【逆向思考+树状数组维护前缀和+二分快速查找sum=h[i]】

HDU 2852 KiKi's K-Number 【逆向思考+树状数组维护前缀和+二分快速查找】

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二维树状数组

一、二维树状数组

二维树状数组，其实就是一维的树状数组上的节点再套个树状数组，变成了二维树状数组。

const int N = 1e3 + 10;
int c[N][N], n, m;

#define lowbit(x) (x & -x)

void add(int x, int y, int v) {
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
        for (int j = y; j <= m; j += lowbit(j))
            c[i][j] += v;
}

LL query(int x, int y) {
    LL res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i))
        for (int j = y; j; j -= lowbit(j))
            res += c[i][j];
    return res;
}

二、单点修改，区间查询

LOJ #133. 二维树状数组 1：单点修改，区间查询

给出一个 n × m 的零矩阵 A ，你需要完成如下操作：

• 1   x   y   k ：表示元素 A_{x , y} 增加 k
• 2   a   b   c   d: 表示询问左上角为 (a,b) ，右下角为 (c,d) 的子矩阵内所有数的和

单点增加，因此可以直接加上就可以了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 5000; // 2^(12)=4096

int n, m;

LL c[N][N];
#define lowbit(x) (x & -x)
void add(int x, int y, int d) {
    for (int i = x; i < N; i += lowbit(i))
        for (int j = y; j < N; j += lowbit(j))
            c[i][j] += d;
}
LL sum(int x, int y) {
    LL res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i))
        for (int j = y; j; j -= lowbit(j))
            res += c[i][j];
    return res;
}

int main() {
    // 加快读入
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    cin >> n >> m;
    int op;
    while (cin >> op) {
        if (op == 1) {
            int x, y, d;
            cin >> x >> y >> d;
            add(x, y, d);
        } else {
            int x1, y1, x2, y2;
            cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
            cout << sum(x2, y2) - sum(x1 - 1, y2) - sum(x2, y1 - 1) + sum(x1 - 1, y1 - 1) << '\n';
        }
    }
    return 0;
}

三、区间修改，单点查询

LOJ #134. 二维树状数组 2：区间修改，单点查询

给出一个 n × m 的零矩阵 A ，你需要完成如下操作：

• 1 \, a \, b \, c \, d \, k：表示左上角为 (a,b) ，右下角为 (c,d) 的子矩阵内所有数都自增加 k；
• 2 \, x \, y ：表示询问元素 A_{x,y} 的值。

只需要利用一个二维树状数组，维护一个二维差分数组，单点查询即可。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 5000;
int n, m;

LL c[N][N];
#define lowbit(x) (x & -x)
void add(int x, int y, int d) {
    for (int i = x; i < N; i += lowbit(i))
        for (int j = y; j < N; j += lowbit(j))
            c[i][j] += d;
}
LL sum(int x, int y) {
    LL res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i))
        for (int j = y; j; j -= lowbit(j))
            res += c[i][j];
    return res;
}

int main() {
    // 加快读入
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);

    cin >> n >> m;
    int op;
    while (cin >> op) {
        if (op == 1) {
            int x1, y1, x2, y2, d;
            cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> d;
            // 二维差分
            add(x1, y1, d);
            add(x1, y2 + 1, -d);
            add(x2 + 1, y1, -d);
            add(x2 + 1, y2 + 1, d);
        } else {
            int x, y;
            cin >> x >> y;
            cout << sum(x, y) << '\n';
        }
    }
    return 0;
}

四、区间修改，区间查询

LOJ #135. 二维树状数组 3：区间修改，区间查询

给定一个大小为 N × M 的零矩阵，直到输入文件结束，你需要进行若干个操作，操作有两类：

• 1 \, a\, b\, c\, d\, x，表示将左上角为 (a,b) ，右下角为 (c,d) 的子矩阵全部加上 x；

• 2\, a\, b\, c\, d\, , 表示询问左上角为 (a,b) ，右下角为 (c,d) 为顶点的子矩阵的所有数字之和。

考虑前缀和 sum[i][j] 和 原数组 a , 差分数组 d 之间的关系。

首先\displaystyle sum[i][j]=\sum_{x=1}^i\sum_{y=1}^ja[x][y] (二维前缀和)

又由于\displaystyle a[x][y]=\sum_{u=1}^x\sum_{v=1}^yd[u][v] (差分数组与原数组关系)

所以：

\displaystyle sum[i][j]=\sum_{x=1}^i\sum_{y=1}^j\sum_{u=1}^x\sum_{v=1}^yd[u][v]

可以说是非常复杂了......

统计d[u][v]出现次数

• 从a[1][1]到a[i][j],d[1][1]全都要出现一次，所以有i×j个d[1][1]，即d[1][1]×i×j

• 从a[1][1]到a[i][j],d[1][2]出现了多少次呢？头脑中出现一个二维差分转原数组(本质就是一个原数组转二维前缀和)的图像:

  • i=1,j=1时, d[1][2]就没有出现
  • i=1,j=2时, d[1][2]出现1次
  • ...
  • i=2,j=1时, d[1][2]就没有出现
  • i=2,j=2时, d[1][2]出现1次
  • ...

总结一下：

• d[1][2]×i×(j−1)
• d[2][1]×(i−1)×j
• d[2][2]×(i−1)×(j−1)
  等等……

所以我们不难把式子变成：

sum[i][j]=\sum_{x=1}^i\sum_{y=1}^j \begin{bmatrix}d[x][y]×(i+1−x)×(j+1−y)\end{bmatrix}

展开得到：

sum[i][j]=\sum_{x=1}^i\sum_{y=1}^j \begin{bmatrix}d[x][y]\times (i+1)\times (j+1)-d[x][y]\times x \times (j+1)-d[x][y]\times (i+1) \times y+d[x][y]\times xy \end{bmatrix}

也就相当于把这个式子拆成了四个部分： $\displaystyle ① (i+1)(j+1)×\sum_{x=1}^i\sum_{y=1}^jd[x][y] \ ② −(j+1)×\sum_{x=1}^i\sum_{y=1}^j(d[x][y]⋅x) \ ③ −(i+1)×\sum_{x=1}^i\sum_{y=1}^j(d[x][y]⋅y) \ ④ \sum_{x=1}^i\sum_{y=1}^j(d[x][y]⋅xy)$

所以我们需要在原来 C_1[i][j] 记录 d[i][j] 的基础上，再添加三个树状数组：

C_2[i][j] 记录 d[i][j]⋅i C_3[i][j] 记录 d[i][j]⋅j C_4[i][j] 记录 d[i][j]⋅ij

这样一来，就能通过数组a[i][j]的差分数组d[i][j]来得到a[i][j]的前缀和数组sum[i][j]。

最后，易知(x_1,y_1)到(x_2,y_2)的矩阵和就是一个标准的二维前缀和公式，等于\large sum[x_2][y_2]−sum[x_2][y_1−1]−sum[x_1−1][y_2]+sum[x_1−1][y_1−1]

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2050;

int n, m;
LL c1[N][N], c2[N][N], c3[N][N], c4[N][N];
#define lowbit(x) (x & -x)

// 维护四个树状数组
void add(int x, int y, int v) {
    for (int i = x; i < N; i += lowbit(i))
        for (int j = y; j < N; j += lowbit(j)) {
            c1[i][j] += v;
            c2[i][j] += v * x;
            c3[i][j] += v * y;
            c4[i][j] += v * x * y;
        }
}

// 查询左上角为(1,1)右下角为(x,y)的矩阵和
LL query(int x, int y) {
    LL res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) {
        for (int j = y; j; j -= lowbit(j)) {
            res += (x + 1) * (y + 1) * c1[i][j];
            res -= (y + 1) * c2[i][j];
            res -= (x + 1) * c3[i][j];
            res += c4[i][j];
        }
    }
    return res;
}

int main() {
    // 加快读入
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    cin >> n >> m;
    int op;
    while (cin >> op) {
        int x1, y1, x2, y2;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        if (op == 1) {
            int d;
            cin >> d;
            // 维护四个数组
            add(x1, y1, d);
            add(x1, y2 + 1, -d);
            add(x2 + 1, y1, -d);
            add(x2 + 1, y2 + 1, d);
        } else
            cout << query(x2, y2) - query(x1 - 1, y2) - query(x2, y1 - 1) + query(x1 - 1, y1 - 1) << '\n';
    }
    return 0;
}

POJ 2155 Matrix 【二维树状数组】