python/数学课程/【二次函数】二次函数最值问题2.md

关键点

• 数形结合
• 确定对称轴
• 对于a>0,a<0分类讨论
• 对结果要验证是不是符合前提条件

• S_{\triangle BMP}表示为\frac{1}{2}BM*PH 其中PH可以视为P的y坐标 S_{\triangle BMP}=\frac{1}{2}BM*PH=\frac{1}{2}|X_M-X_B||y_p| 下面来思考X_M是什么？ M是直线AM与X轴的交点,那AM又是啥呢？ AM是与AP垂直的，设AP的直线方程为 y=kx+b,则b=1(因为直线AP)交y轴于A点, 截距是1,同时P同时出现在二次函数和直线x=1上: 将x=1代入y=ax^2-2ax+c=ax^2-2ax+1=a-2a+1 y=1-a,所以P(1,1-a) 所以AP的直线方程就是把A(0,1),P(1,1-a)代入y=kx+b即可求出k=-a

  \because AM与AP垂直，根据: 两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1。 知道：k_{AM}=\frac{1}{a} 即y=\frac{1}{a}x+1就是AM的直线方程 当y=0时解得：x=-a,即M(-a,0)

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\frac{1}{2}|X_M-X_B||y_p| =\frac{1}{2}|2-a||1-a|

分情况讨论解出a即可：

$$
\large \left\{\begin{matrix}
a<1 & S=\frac{1}{2}a^2-\frac{3}{2}a+1 \\ 
a>2 & S=\frac{1}{2}a^2-\frac{3}{2}a+1 \\
2>a>1 & S=-\frac{1}{2}a^2+\frac{3}{2}a-1 \\
\end{matrix}\right.

a是不能等于1的，因为a=1则P在x轴上，无法组成三角形 a是不能等于2的，因为如果a=2那么就和B重合了，也无法组成三角形

解得a_1=\frac{3+\sqrt{2}}{2},a_2=\frac{3-\sqrt{2}}{2}

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第二问： 由于S与a的关系是两条抛物线，一个开口向上，一个开口向下，我们计算一下对称轴的位置: -\frac{b}{2a}=\frac{3}{2} 计算一下顶点位置： \frac{4ac-b^2}{4a} (1) 4ac-b^2=4*(1/2)*1-(3/2)^2=2-9/4=-1/4 4a=2 顶点y=-1/8

(2) 同理求出开口向下抛物线顶点=\frac{1}{8} 因为最高点在\frac{1}{8},而题目要求S>\frac{1}{8},所以这种可能不存在。

根据图形结合知道，当a<\frac{3-\sqrt{2}}{2}或a>\frac{3+\sqrt{2}}{2}时是答案