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换根DP

换根DP，又叫二次扫描，是树形DP的一种。

其相比于一般的树形DP具有以下特点：

• ① 以树上的不同点作为根，其解不同
• ② 故为求解答案，不能单求某点的信息，需要求解每个节点的信息
• ③ 故无法通过一次搜索完成答案的求解，因为一次搜索只能得到一个节点的答案 难度也就要比一般的树形DP高一点。

题单

P3478 STA-Station

题意：给定一个n个点的无根树，问以树上哪个节点为根时，其所有节点的深度和最大？ 深度：节点到根的简单路径上边的数量 关键词：换根DP模板题

如果我们假设某个节点为根，将无根树化为有根树，在搜索回溯时统计子树的深度和，则可以用一次搜索算出以该节点为根时的深度和，其时间复杂度为 O(N)。

但这样求解出的答案只是以该节点为根的，并不是最优解。

如果要暴力求解出最优解，则我们可以枚举所有的节点为根，然后分别跑一次搜索，这样的时间复杂度会达到O(N^2)，显然不可接受。

所以我们考虑在第二次搜索时就完成所有节点答案的统计——

• ① 我们假设第一次搜索时的根节点为1号节点，则此时只有1号节点的答案是已知的。同时第一次搜索可以统计出所有子树的大小。

• ② 第二次搜索依旧从1号节点出发，若1号节点与节点x相连，则我们考虑能否通过1号节点的答案去推出节点x的答案。

• ③ 我们假设此时将根节点换成节点x，则其子树由两部分构成，第一部分是其原子树，第二部分则是1号节点的其他子树（如下图）。

• ④ 根从1号节点变为节点x的过程中，我们可以发现第一部分的深度降低了1，第二部分的深度则上升了1，而这两部分节点的数量在第一次搜索时就得到了。

故得到递推公式：

f[v]=f[u]-siz[v]+(siz[1]-siz[v]),fa[v]=u

简化一下就是

f[v]=f[u]+siz[1]-2\times siz[v]=f[u]+n-2\times siz[v]

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000010, M = N << 1;
#define int long long
#define endl "\n"

// 链式前向星
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

int n; // n个节点

int depth[N]; // depth[i]:在以1号节点为根的树中，i号节点的深度是多少
int sz[N];    // sz[i]:以i号节点为根的子树中有多少个节点
int f[N];     // DP结果数组，f[i]记录整个树以i为根时，可以获取到的深度和是多少

// 第一次dfs
void dfs1(int u, int fa) {
    sz[u] = 1;                // 以u为根的子树，最起码有u一个节点
    depth[u] = depth[fa] + 1; // u节点的深度是它父节点深度+1
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (v == fa) continue;
        dfs1(v, u);     // 深搜v节点,填充 sz[v],depth[v]
        sz[u] += sz[v]; // 在完成了sz[v]和depth[v]的填充工作后，利用儿子更新父亲的sz[u]+=sz[v];
    }
}

// 第二次dfs
void dfs2(int u, int fa) {
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (v == fa) continue;
        f[v] = f[u] + n - 2 * sz[v];
        dfs2(v, u);
    }
}

signed main() {
    memset(h, -1, sizeof h); // 初始化链式前向星

    cin >> n;
    for (int i = 1; i < n; i++) { // n-1条边
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b), add(b, a); // 换根DP，无向图
    }

    // 1、第一次dfs,以1号节点为根，它的父节点不存在，传入0
    dfs1(1, 0);

    // 2、换根
    for (int i = 1; i <= n; i++) f[1] += depth[i]; // DP初始化，以1号节点为根时，所有节点的深度和
    dfs2(1, 0);                                    // 从1号节点开始，深度进行换根

    // 3、找答案
    int ans = 0, id = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)            // 遍历每个节点
        if (ans < f[i]) ans = f[i], id = i; // ans记录最大的深度值，id记录以哪个节点为根时取得最大值
    // 输出以哪个节点为根时，深度和最大
    cout << id << endl;
}

总结与进阶

由此我们可以看出换根DP的套路：

• 指定某个节点为根节点。
• 第一次搜索完成预处理（如子树大小等），同时得到该节点的解。
• 第二次搜索进行换根的动态规划，由已知解的节点推出相连节点的解。

P1364 医院设置

一、O(N^3)算法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int g[150][150];
int w[N];

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    // 地图初始化
    memset(g, 0x3f, sizeof g);
    for (int i = 1; i <= n; i++) g[i][i] = 0;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int a, b;
        cin >> w[i] >> a >> b;
        g[i][a] = g[a][i] = 1; // 左链接，右链接，二叉树，和一般的不一样
        g[i][b] = g[b][i] = 1;
    }

    // floyd
    for (int k = 1; k <= n; k++)
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                if (g[i][j] > g[i][k] + g[k][j]) g[i][j] = g[i][k] + g[k][j];

    int ans = INF;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int s = 0;
        for (int j = 1; j <= n; j++) s += w[j] * g[i][j];
        ans = min(ans, s);
    }
    printf("%d", ans);
    return 0;
}

二、O(N^2)算法 n 的值很小，最多可以有 O(n^3) 的时间复杂度。

那么就可以枚举每一个节点，计算它的 最小距离和 ，再统计答案。

最小距离和 怎么计算呢？容易想到的是枚举所有节点，算出两个节点之间的距离，再乘上这个节点的价值。

这样就需要求出节点之间的距离。先枚举起点，然后算出每个节点到这个起点间的距离。我用的是一个朴素的 dfs，在搜索的过程中累加距离，每搜索到一个节点，就储存这个节点与起点间的距离。

而累加距离也很容易实现，在从一个节点遍历到下一个节点时，step 增加 1；

代码就很好实现了，时间复杂度也不高，O(n^2)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110, M = N << 1;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n;
int x[N];      // 点权权值数组
int st[N];     // st 数组存是否遍历过这个节点
int dis[N][N]; // 存节点间的距离

// 链式前向星
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

void dfs(int root, int u, int step) {         // root 表示根,u:当前走到哪个节点，step:到u点时走了几步
    st[u] = 1;                                // u走过了，防止回头路
    dis[root][u] = step, dis[u][root] = step; // root<->u之间的路径长度

    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (st[v]) continue;
        dfs(root, v, step + 1);
    }
}

int main() {
    // 初始化链式前向星
    memset(h, -1, sizeof h);

    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int a, b;
        cin >> x[i] >> a >> b;
        if (a) add(i, a), add(a, i); // 存图
        if (b) add(i, b), add(b, i);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        memset(st, 0, sizeof st);
        dfs(i, i, 0); // 搜索
    }
    int ans = INF;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int s = 0;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            s = s + x[j] * dis[i][j]; // 累加距离
        ans = min(ans, s);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

三、O(N)算法 如果n=1e6，那么就要考虑换根dp了 我们考虑相邻的医院是否存在转换关系,设其中一个医院为u（父节点），另一个为v(子节点) 如果把u点的医院改为v点，则发现：

如图：以5为根时：

以4为根时：

以v为根的子树的集合的所有人少走1步，但是另一集合的所有人要多走一步

设sz[i]表示以i为根节点的集合人的总数，f[i]表示在i点设置医院的代价，则可转换成：

\large f[v]=f[u]+(sz[1]-sz[v])-sz[v]=f[u]+sz[1]-2\times sz[v]

注： 其中sz[1]表示全部人的数量,一般也写做n

思路： 先算出1个点的代价，之后dp换根直接转换

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = N << 1;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

// 链式前向星
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}
int c[N];
int f[N], sz[N];
int ans = INF;

// 第一次dfs,获取在以1为根的树中:
// 1、每个节点分别有多少个子节点，填充sz[]数组
// 2、获取到f[1],f[1]表示在1点设置医院的代价
// 获取到上面这一组+一个数据，才能进行dfs2进行换根
void dfs1(int u, int fa, int step) {
    sz[u] = c[u]; // 这个挺绝啊~，与一般的统计子树节点个数不同，这里把人数，也就是点权值，也看做是一个节子点，想想也是这个道理
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (v == fa) continue;
        dfs1(v, u, step + 1); // 填充深搜v节点为根的子树
        sz[u] += sz[v];       // 在完成了v节点的数据统计后，用v节点的sz[v]结果累加到sz[u]
    }
    f[1] += step * c[u]; // 累加步数*人数 = 1点的总代价,预处理出1点的总代价
}

// 第二次dfs,开始dp换根
void dfs2(int u, int fa) {
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (v == fa) continue;
        f[v] = f[u] + sz[1] - sz[v] * 2; // 经典的递推式
        dfs2(v, u);                      // 继续深搜
    }
}

int main() {
    // 初始化链式前向星
    memset(h, -1, sizeof h);

    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> c[i];
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        if (a) add(a, i), add(i, a); // 是一个二叉树结构，与左右节点相链接，但有可能不存在左或右节点，不存在时,a或b为0
        if (b) add(b, i), add(i, b);
    }
    // 1、准备动作
    dfs1(1, 0, 0);
    // 2、换根dp
    dfs2(1, 0);

    // 输出答案
    for (int i = 1; i <= n; i++) ans = min(ans, f[i]);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

P2986 伟大的奶牛聚集

题目描述

Bessie 正在计划一年一度的奶牛大集会，来自全国各地的奶牛将来参加这一次集会。当然，她会选择最方便的地点来举办这次集会。

每个奶牛居住在 N 个农场中的一个，这些农场由 N-1 条道路连接，并且从任意一个农场都能够到达另外一个农场。道路 i 连接农场 A_i 和 B_i，长度为 L_i。集会可以在 N 个农场中的任意一个举行。另外，每个牛棚中居住着 C_i 只奶牛。

在选择集会的地点的时候，Bessie 希望最大化方便的程度（也就是最小化不方便程度）。比如选择第 X 个农场作为集会地点，它的不方便程度是其它牛棚中每只奶牛去参加集会所走的路程之和（比如，农场 i 到达农场 X 的距离是 20，那么总路程就是 C_i\times 20）。帮助 Bessie 找出最方便的地点来举行大集会。

题目分析 这还分析个啥啊，这不就是上一道题的医院选址吗？

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = N << 1;
#define int long long
#define endl "\n"

// 链式前向星
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

int c[N]; // 点权数组
int sz[N];  // sz[i]:在以1号节点为根时，i号节点的子节点数量
int dis[N]; // dis[i]:表示i距离起点的长度
int f[N]; // f[i]:把奶牛大集会的地点设为i时的最小代价
int ans = 1e18;

// 第一次dfs,获取在以1为根的树中:
// 1、每个节点分别有多少个子节点，填充sz[]数组
// 2、获取到f[1],f[1]表示在1点设置医院的代价
// 获取到上面这一组+一个数据，才能进行dfs2进行换根
void dfs1(int u, int fa) {
    sz[u] = c[u]; // 这个和医院选址是一样的，点权就是子节点个数
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (v == fa) continue;
        dis[v] = dis[u] + w[i]; // 每个点到根节点的距离,这个和医院选址是不一样的，那个是一步+1，用step记录即可，这个还有边权
        dfs1(v, u);             // 深搜
        sz[u] += sz[v];         // 以u为根的子树奶牛数量
    }
    f[1] += dis[u] * c[u]; // 累加 距离*人数=1点的总代价
}

// 第二次dfs,开始dp换根
void dfs2(int u, int fa) {
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (v == fa) continue;
        f[v] = f[u] + (sz[1] - sz[v] * 2) * w[i];
        dfs2(v, u);
    }
}
signed main() {
    // 初始化链式前向星
    memset(h, -1, sizeof h);

    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> c[i];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c), add(b, a, c);
    }
    // 1、准备动作
    dfs1(1, 0);
    // 2、换根dp
    dfs2(1, 0);
    // 输出答案
    for (int i = 1; i <= n; i++) ans = min(ans, f[i]);
    cout << ans << endl;
}

CF1187E Tree Painting

题意 给定一棵有 n 个结点的无根树，所有结点都是白色的。

第一次操作可以 随意 使一个结点染成黑色，之后每次操作可以使一个与黑色结点相邻的白色结点变成黑色。

每次操作可以获得的权值为: 被染成黑色的白色结点所在的白色连通块的结点数量。

求可以获得的最大权值。

难点解析

最初时，我对这个权值 的认识不够深入，没有明白为什么根不同权值就会不同呢？后来仔细思考，发现是自己傻了，因为根不同，每个节点到根的距离就会不同，而权值的计算办法，其实是类似于哈夫曼树，父子隶属关系的不同最终的权值是不一样的，我们可以再画一下上面的图进行深入理解：

总结：题目理解能力，目前看来有两种办法：

• ① 多动手画图理解，尝试换根试一下。
• ② 多做题，做的多了就一下明白它说什么了。

题解 不难发现只要选定了第一个被染色的结点，答案也就确定了, 也就是 选了谁是根最重要，其它的选择顺序不重要。

所以有一个朴素做法就是以枚举每个结点为根，都做一次树形dp。

以某一结点为根，记 f[i] 表示以 i 为根的子树中，首先把 i 染成黑色的权值。

状态转移方程: \displaystyle \large f[u]=sz[u]+\sum_{v \in son[u]} f[v]​

其中 sz[u] 表示以 u 为根的子树大小，也就是染色时的白色连通块大小。

时间复杂度 O(n^2) ，稳稳地暴毙,然后就会自然而然地想到换根dp。

换根dp

先考虑以1号点为根，求出 f 数组。

然后记 g[i] 表示以 i 结点为根时的答案,尝试通过1号节点的计算已知值，进行换根,利用数学变换加快运算速度。

显然,由于1号节点是根，它没有向上走的路径，所以它的向下所有获取的价值就是总价值，也就是 g[1] =f[1]

然后考虑 g 数组从 父亲到儿子 的转移。

以样例为例：

我们假设当前以 1 号为根，求出了 f 数组，也就是知道了 g[1]=f[1] ，然后要求出 g[2] 。

考虑一下答案的组成。

首先考虑 2 号结点的孩子的贡献，也就是图中蓝圈内的部分。这部分显然不会改变，贡献就是 f[2] −sz[2] 。

然后考虑父亲方向，也就是图中红圈部分对 g[2] 的贡献。

那么除了以 2 号结点，与 1 号结点相邻的其他子树都会对答案产生贡献，也就是说，我们只需要用以 1 号结点为根时的权值减去以 2 为根的子树的贡献即可，也就是 g[1]-sz[2]-f[2] 。

综合一下上述两种方向的贡献，可以得到：

g[2]=n+(f[2]-sz[2])+(g[1]-f[2]-sz[2])=n+g[1]-sz[2]\times 2

推广到所有节点，就可以得到：

g[v]=n+g[u]-sz[v]\times 2

然后跑两遍 dfs 就愉快的解决啦。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl "\n"

const int N = 200010, M = N << 1;

int n;

// 链式前向星
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

int sz[N]; // sz[i]:以i为根的子树中有多少个节点
int f[N];
int g[N];

int ans; // 答案

// 以子填父
void dfs1(int u, int fa) {
    sz[u] = 1; // 以u为根的子树，最起码有u自己1个节点
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (v == fa) continue;
        dfs1(v, u);     // 换根dp的套路，第一次 dfs,以子填父，先递归，后累加
        sz[u] += sz[v]; // 将儿子节点v子树的节点数量，累加到u子树上
        f[u] += f[v];   // 权值也需要累加
    }
    f[u] += sz[u]; // 别忘了加上自己子树的个数，之所以放在这里写，是因为需要所有子树递归完成统计后才有sz[u]
}

// 换根dp
void dfs2(int u, int fa) {
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (v == fa) continue; // 填充g[]数组的权值最大值
        // 此处 sz[1]=n,怎么写都行
        g[v] = n + g[u] - 2 * sz[v]; // 数学方法计算出来，修改v的最终答案
        // 自顶向下修改统计信息，统计信息是指以每个点为根时可以获取到的最大权值
        dfs2(v, u);
    }
}

signed main() {
    // 初始化链式前向星
    memset(h, -1, sizeof h);

    cin >> n;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b), add(b, a);
    }
    // 第一次dfs,以子孙节点信息更新父节点的统计信息，统计信息包括：以u为根的子树中节点数个sz[u],每个节点可以获取到的权值f[u]
    dfs1(1, 0);
    // f[i]:以1为根时的, 以i为子树根的子树可以获得的最大权值
    // g[i]:以i为根的子树可以获得的最大权值,也就是最终的结果存储数组
    g[1] = f[1];

    // 第二次dfs,换根
    dfs2(1, 0);

    // 遍历一遍历，找出到底以谁为根可以获取到权值的最大值，最大值是多少
    for (int i = 1; i <= n; i++) ans = max(ans, g[i]);
    // 输出答案
    cout << ans << endl;
}

CF1324F.Maximum White Subtree

题目大意

• 给定一棵 n 个节点无根树，每个节点 u 有一个颜色 a_u，若 a_u 为 0 则 u 是黑点，若 a_u 为 1 则 u 是白点。
• 对于每个节点 u，选出一个包含 u 的连通子图，设子图中白点个数为 cnt_1，黑点个数为 cnt_2，请最大化 cnt_1 - cnt_2。并输出这个值。
• 1 \leq n \leq 2 \times 10^5，0 \leq a_u \leq 1。

思路分析 这题要求的是求出对任何一个节点v，求出包含这个节点的子树cnt_1−cnt_2的最大值。

暴力想法 首先思考下暴力写法应该如何写。

对于所有可能的路径的贡献值的累加，且贡献值需大于等于0。

• 白的比黑的多，有分, 这时我们选上这棵子树
• 黑的比白的多，没分, 这时我们放弃这棵子树

不妨设f[u]代表u结点的最大值。故

\large f[u]=c[u]+\sum_{v \in son_u}max(0,f[v])

假如用暴力写法，就是对于每个结点u，暴力搜索所有的相邻结点，利用dfs暴力搜索。也就是以每个结点为棵出发，枚举n次dfs,但是结点最大为2∗10^5 这个暴力算法显然会超时，考虑如何优化。

算法优化  对于从下往上的贡献，可以利用从下往上的dfs树形dp进行获取,难求的是刨去以v为根的子树的贡献值,也就是向上走的那部分。

设u为节点v的父节点,f[v]代表从下往上以v为根的 白点数减去黑点数 的 最大值,g[v]代表最终的最大值。

根据刨去以v为根的子树的贡献值这个思想，可以发现:

\large add=g[u]−max(0,f[v])

注：fa[v]=u

就是刨去以v为根的子树的贡献值。写出状态转移方程：

\large g[v] = 
 \left\{\begin{matrix}
f[v] &   if \ v = root \\
 f[v]+max(0,g[u]-max(0,f[v]))&  if \ v \neq root
\end{matrix}\right.

因此思路:

• ① 从下往上树形dp,计算f[v]
• ② 从上往下换根dp,计算g[v]

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10, M = N << 1;

// 链式前向星
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

int f[N];
int g[N];
int c[N]; // 颜色
int n;    // 节点数量

// 以1号节点为根，跑一遍dfs,填充每个节点的cnt1-cnt2的最大值
void dfs1(int u, int fa) {
    f[u] = c[u]; // 1：白色，-1黑色，正好与 cnt1-cnt2一致,初始值加上了老头子自己的养老钱
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (v == fa) continue;
        dfs1(v, u);
        f[u] += max(0, f[v]); // 如果我儿子给我，那我就拿着；如果我儿子不给我钱，或者管我要钱，我就不理它！
    }
}

// 换根dp
void dfs2(int u, int fa) {
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (v == fa) continue;
        int val = g[u] - max(f[v], 0);
        g[v] = f[v] + max(val, 0);
        dfs2(v, u);
    }
}

int main() {
    // 初始化链式前向星
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        c[i] = (x ? x : -1); // 白色c[i]=1，黑色c[i]=-1
    }

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b), add(b, a);
    }

    // 第一次dfs
    dfs1(1, 0);

    // 它们两个是一个意思
    g[1] = f[1];
    // 换根dp
    dfs2(1, 0);
    // 输出答案
    for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", g[i]);
    return 0;
}

P3047 Nearby Cows G

题目大意 给你一棵 n 个点的树，点带权，对于每个节点求出距离它不超过 k 的所有节点权值和。

对于树中的某个节点而言，距离它不超过k的节点主要来源于两方面:

• 一个是该节点的子节点中距离该节点不超过距离k的节点的权值和
• 一个是该节点向上沿着父节点方向不超过距离k的点的权值和

对于子节点方向的节点的权值和，可以通过普通的树形DP计算出来。

1、状态表示 f[i][j]表示以i为根节点的子树中，距离i不超过j的子节点的权值和。

2、状态转移

\large f[u][j]=val[u]+\sum_{v \in son[u]}f[v][j−1] \  j \in [1,k]

到节点u不超过距离k，即距离v=son[u]不超过k−1，然后加在一起即可。同时u节点本身也有贡献，因为u节点本身是不超过距离0的节点。

理解：父亲的生活费=\sum(每个儿子给的生活费)+自己的社保金

void dfs1(int u, int fa) {
    // 初始化：当遍历到u节点时，u的拆分状态中，最起码包含了自己的点权值
    for (int i = 0; i <= k; i++) f[u][i] = val[u];

    // 枚举u的每一个子节点
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (v == fa) continue; // 如果是u的父亲，那么就跳过,保证只访问u的孩子
        // 先递归，// 递归填充v节点的信息
        dfs1(v, u);
        // 再利用子节点信息更新父节点信息
        for (int j = 1; j <= k; j++) f[u][j] += f[v][j - 1];
    }
}

3、换根DP 这个题目本身是个无根树，如果我们认为规定编号为1的节点是根的话，那么对于祖宗节点1来说，f[1][k]就是距离1节点不超过距离k的节点的权值和。因为祖宗节点是没有父亲节点的，所以我们就不需要考虑沿着父节点方向的节点权值和。

令：g[u][j]表示所有到u节点的不超过距离j的节点的权值和。根据刚刚的分析：

\large g[1][j]=f[1][j]\ j \in [1,k]

这个就是我们换根DP的 初始化。

注：我们完全可以去把每个点都当作根，然后暴力跑出答案，但是这个暴力做法的时间复杂度是O(n^2)的，会超时。

所以当我们将祖宗节点从节点1换为另一个节点的时候，我们只能通过数学上的关系来计算出g数组元素的值。这个也是换根DP的意义。

我们看下面的图：

红色框是非常好理解的，以v为根的子树，在最远距离为k的限制下，写成f[v][k]。上面的部分，我们可以写成g[u][k-1]。因为到v不超过k的距离，即距离它的父亲节点不超过k−1的距离。

但是这么写对吗？

答案是不对的，g[u][k-1]和f[v][k]是有重复部分的。我们需要减去这段重复的部分，那么关键问题是重复部分如何表示？

重复部分肯定是出现在了红色框中，红色框中到u不超过距离k−1，即距离u不超过k-2，同时重复部分又恰好是节点v的子节点，所以这部分可以表示为：f[v][k-2]。

所以最终的结果就是：

\large g[v][k]=f[v][k]+g[u][k−1]−f[v][k−2]

解释： ① 换根DP时，由父推子，也就是用g[u][?] \rightarrow g[v][??] ② 由于v需要向上，通过u去寻找点权和，而v \rightarrow u已经用去了1步，一共k步，现在就剩下了k-1步。 ③ Q:那为什么不是f[u][k-1]，而是g[u][k-1]呢？ 因为u不光有向下的，还有向上的啊！我们现在不光要向下的，还要向上的，当然是g[u][k-1]啦！ ④ 但是简单的这么整是不行的：g[u][k-1]与f[v][k]是存在交集的，如果简单加上就会造成一部分被算了两次！那么，是哪部分被算了两次呢？ 答:对于u节点而言，g[u][k-1]与f[v][k]的交集，需要先走1步进入红框，这样，就用去了1步，也就是f[v][k-2]就是重复的部分，利用容斥原理去掉就行了，也就是g[v][k]=f[v][k]+g[u][k−1]−f[v][k−2]

细心的同学发现，这面的状态转移方程是有边界问题的：k-2是不是一定大于等于0呢？ 如果k-2<=0咋办？会不会造成代码RE或者WA?

也就是说，上述方程成立的条件是k\geq 2的。

所以我们还得想一想\leq 1的时候。

如果k=0，g[v][0]其实就是val[v]，因为不超过距离0的点只有本身。

如果k=1，那么g[v][1]其实就是f[v][1]+val[u]，因为沿着父节点方向距离v不超过1的点，只有父节点，而树中，父节点是唯一的。沿着子节点方向，其实就是v的各个子节点，而这些子节点可以统统用f[v][1]表示。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = N << 1;
const int K = 25;
// 链式前向星
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

int f[N][K]; // f[i][j]:如果根是1号节点时，i号节点，最远走j步，可以获取到的所有点权和
int g[N][K];
int val[N]; // 点权数组

int n, k;

void dfs1(int u, int fa) {
    // 初始化：当遍历到u节点时，u的拆分状态中，最起码包含了自己的点权值
    for (int i = 0; i <= k; i++) f[u][i] = val[u];

    // 枚举u的每一个子节点
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (v == fa) continue; // 如果是u的父亲，那么就跳过,保证只访问u的孩子
        // 先递归，// 递归填充v节点的信息
        dfs1(v, u);
        // 再利用子节点信息更新父节点信息
        for (int j = 1; j <= k; j++) f[u][j] += f[v][j - 1];
    }
}

// 换根dp
void dfs2(int u, int fa) {
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (v == fa) continue;

        g[v][0] = val[v];           // 走0步,只有自己一个点
        g[v][1] = f[v][1] + val[u]; // 走1步,包含自己下面子树一层+父节点

        // 如果走2步及以上，最多k步以内
        for (int j = 2; j <= k; j++) g[v][j] = f[v][j] + g[u][j - 1] - f[v][j - 2];

        // 再递归，利用父更新子
        dfs2(v, u);
    }
}

int main() {
    // 初始化链式前向星
    memset(h, -1, sizeof h);

    cin >> n >> k;
    for (int i = 1; i < n; i++) { // n-1条边
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b), add(b, a);
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> val[i]; // 点权
    // 1、自底向上
    dfs1(1, 0);

    // 2、换根dp
    for (int i = 0; i <= k; i++) g[1][i] = f[1][i];
    dfs2(1, 0);

    // 输出结果
    for (int i = 1; i <= n; i++) cout << g[i][k] << endl;
    return 0;
}

POJ3585 Accumulation Degree

题意

思路分析

这是一道 不定根 的树形DP问题，这类题目的特点是，给定一个树形结构，需要以每个结点为根进行一系列统计。我们一般通过两次扫描来求解此类问题：

• 1.第一次扫描，任选一个点为根，在 有根树 上执行一次树形DP。
• 2.第二次扫描，从刚才选出的根出发，对整棵树执行一次DFS，在每次递归前进行 自上而下 的推导，计算出 换根 之后的解。

样例分析 5个点， 4条边。当以4为起点时， 得到最大流量为26。

本题思路

• ① 选择1号节点当做根节点,做一次树形DP，至下往上进行状态转移，更新f数组的值，f数组存的是f[i] 是 i的子树的最大流量(向下的)。

• ② 因为1号节点没有向上的路径了，所以g[1]=f[1]

• ③ 从1号根节点出发, 扫描所有节点, 自顶往下进行更新g数组,g[x]代表以x为根节点的整棵树的最大总流量(不光是向下，还要有向上的)。

用du数组存节点的度,以便判断叶子结点:第一次搜索时,状态转移是如下代码所示:

• ① 如果v是叶子结点， v的子树的最大流就是 f[u] + w[u][v] 这里的w[u][v]表示u 到 v 的流量，代码中用w[i]表示
• ② 如果v不是叶子结点， 流量就等于v的子树的最大流量和u到v的流量取最小值。

   if(du[v] == 1) f[u] += w[i];
   else f[u] += min(f[v], w[i]);

在进行g数组更新时也是类似的做法，由于是自上往下更新， 所以和上面会在更新存值时有一点不同，这里也是u \rightarrow v。

• ① 如果u是叶子结点, g[v] = f[v] + w[i]
• ② 如果u不是叶子结点,g[u]的总流量减去u流向v的最大流，这就是u流向另外节点的总流量，再在这个总流量，和w[i]取一个最小值，就是v流向u的最大流，再加上v流向其他节点的总流量，就是以v为根节点的这棵树的最大总流量。

if (du[u] == 1)
    g[v] = f[v] + w[i];
else
    g[v] = f[v] + min(g[u] - min(f[v], w[i]), w[i]);

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10, M = N << 1;

int n, du[N];

// 链式前向星
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

int f[N], g[N];

// 以1号点为根， 由子推父，先递归，再统计
void dfs1(int u, int fa) {
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (v == fa) continue;
        dfs1(v, u);
        if (du[v] == 1) // 如果v的度为1，也就是叶子
            f[u] += w[i];
        else
            f[u] += min(f[v], w[i]);
    }
}
void dfs2(int u, int fa) {
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (v == fa) continue;
        if (du[u] == 1)
            g[v] = f[v] + w[i];
        else
            g[v] = f[v] + min(g[u] - min(f[v], w[i]), w[i]);
        // 先计算再递归
        dfs2(v, u);
    }
}

int main() {
    // 加快读入
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        // 初始化链式前向星
        memset(h, -1, sizeof h);
        idx = 0;
        memset(du, 0, sizeof du);
        memset(f, 0, sizeof f);
        memset(g, 0, sizeof g);

        cin >> n;

        int a, b, c;
        for (int i = 1; i < n; i++) { // 树，n-1条无向边
            cin >> a >> b >> c;
            add(a, b, c), add(b, a, c);
            du[a]++, du[b]++; // 记录入度,无向图就不谈入度和出度了
        }
        // 第一遍dfs
        dfs1(1, 0);
        g[1] = f[1];

        // 第二遍dfs
        dfs2(1, 0);

        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) ans = max(ans, g[i]);
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

P6419 Kamp

题目大意

一棵树上有一些点有人，边有通过的长度，然后对于每个点，你从这个点出发经过所有人（不用回到原来位置）的最短时间。 其它人不会动，只有你去找人。

思路

首先，第一眼，这是一道换根dp

接下来我们就要看两次dfs要处理什么

第一次dfs

按照换根dp的老套路，我们要处理子树里的信息

• f[u]:以 u 为根的子树中从 u 开始把所有家在这个子树内的人送回家 并回到 u 节点的最短路程
• sz[u]:家在以 u 为根的子树中的人数

显然，我们可以得到 \displaystyle f[u]=\sum_{v \in son[u]} f[v]+2\times w_{u \rightarrow v}​,其中v是 u的子节点,且sz_v \neq 0

其中 w 为边权

刚做这道题的我天真地以为这就是第一次 dfs 需要处理的东西，当我写完之后测样例时，发现挂掉了，所以，我们还需要处理一些东西

我们手算了一遍样例，发现我们的车可以送完人了之后不返回开始点；也就是说再我们这么算回到起始点的数值之后还要 减去一个最长链的长度!

这里的 最长链就表示离一个点最远的人的家

令 len[u] 表示:从 u 开始的最长链，id[u] 为从 u 开始的最长链所经过的第一个节点（也就是 u 的一个子节点或者 u 的父亲节点）

令slen[u]表示：为从 u 开始的次长链,次长链是干啥的待会再说

解释：s:second

当然了，第一次dfs我们还是只处理子树内的最长链，次长链

先放第一次dfs的代码：

void dfs1(int u, int fa) {
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (v == fa) continue;
        dfs1(v, u); // 由底向上，先递归，再更新统计信息

        // 如果v这个节点，及它的子节点上有人，那么需要汇总统计信息到sz[u]上去
        // 如果v上就没有人，那就不用统计了
        if (sz[v] == 0) continue;

        // ①  u->v,v->u一来一回，路径翻倍 2*w[i]
        // ②  所有子节点都对u有贡献，所以f[u]+
        // ③  跑完v为根的子树后，v子树的贡献要累加到u子树上，所以f[u]+=f[v]+2*w[i]
        f[u] += f[v] + 2 * w[i];

        // len[v]:v点出发的最长链长度
        int x = len[v] + w[i];

        // 更新最长链
        if (x >= len[u])
            slen[u] = len[u], len[u] = x, id[u] = v;
        else if (x > slen[u]) // 更新次长链
            slen[u] = x;

        // 记录累计人数
        sz[u] += sz[v];
    }
}

第二次dfs 第二次dfs我们就要处理全局的事情了

令 g[u] 为对于整棵树从 u 开始送人 最后回到 u 的最短距离

接下来我们就要开始分类了:

1、当以 u 为根的子树中没有人的家，即 sz[u] =0 时，我们发现 g[v]=g[u]+2\times w_{u \rightarrow v}​ ，很好理解，不多说了（画画图就好了

2、当除了以u 为根的子树其他地方没有人的家，即 K−sz[u]=0时，可以发现 g[v]=f[v] ​ 3、 其他情况,即sz[u] \neq 0 且 m-sz[u] \neq 0时，发现g[v]=g[u]

那么，更新完 g 之后，我们就要考虑如何更新最长链和次长链了

这也是本题最烦的地方了

依旧分类讨论，依旧是上面三类（这里编号就代表上面的情况）

1、这种情况可以发现 len[v]=len[u]+w_{u→v} ，很简单 2、这种情况很容易发现完全没有必要更新 3、最烦的情况来了，这种情况下我们还要分类讨论 ① 当 len[u]+w≥len 且 id[u] \neq v 时，说明 u 的最长链可以更新 v 的最长链，那么直接更新即可 ② 当 len[u]+w≥len 且 id[u] \neq v 时，说明 u 的最长链可以更新 v 的最长链，那么直接更新即可 ③ 当 len[u]+w≥len 且 id[u] \neq v 时，说明 u 的最长链可以更新 v 的最长链，那么直接更新即可 ④ 当 len[u]+w≥len 且 id[u] \neq v 时，说明 u 的最长链可以更新 v 的最长链，那么直接更新即可 ⑤ 当 len[u]+w≥len 且 id[u] \neq v 时，说明 u 的最长链可以更新 v 的最长链，那么直接更新即可 ⑥ 当 len[u]+w≥len 且 id[u] \neq v 时，说明 u 的最长链可以更新 v 的最长链，那么直接更新即可

####CF708C Centroids https://blog.csdn.net/TheSunspot/article/details/118216638

https://www.cnblogs.com/DongPD/p/17498336.html

P3647 APIO2014 连珠线

V-Subtree

https://blog.csdn.net/Emm_Titan/article/details/123875298

AcWing 1073. 树的中心

AcWing 1148 秘密的牛奶运输