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##[$AcWing$ $1319$. 移棋子游戏](https://www.acwing.com/problem/content/description/1321/)
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### 一、题目描述
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给定一个有 $N$ 个节点的 **有向无环图**，图中某些节点上有棋子，两名玩家交替移动棋子。
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玩家每一步可将任意一颗棋子沿一条有向边移动到另一个点，无法移动者输掉游戏。
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对于给定的图和棋子初始位置，双方都会采取最优的行动，询问先手必胜还是先手必败。
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**输入格式**
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第一行，三个整数 $N,M,K$，$N$ 表示图中节点总数，$M$ 表示图中边的条数，$K$ 表示棋子的个数。
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接下来 $M$ 行，每行两个整数 $X,Y$ 表示有一条边从点 $X$ 出发指向点 $Y$。
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接下来一行， $K$ 个空格间隔的整数，表示初始时，棋子所在的节点编号。
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节点编号从 $1$ 到 $N$。
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**输出格式**
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若先手胜，输出 `win`，否则输出 `lose`。
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**数据范围**
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$1≤N≤2000,1≤M≤6000,1≤K≤N$
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**输入样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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6 8 4
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2 1
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2 4
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1 4
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1 5
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4 5
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1 3
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3 5
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3 6
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1 2 4 6
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```
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**输出样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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win
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```
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### 二、解题思路
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首先定义 $mex$ 函数，这是施加于一个集合的函数，返回 **最小的不属于这个集合的非负整数**
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例：$mex({1,2})=0,mex({0,1})=2,mex({0,1,2,4})=3$
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在一张有向无环图中，对于每个点 $u$，设其**所有能到的点**的 $SG$ 函数值集合为集合 $A$，那么 $u$ 的 $SG$ 函数值为 $mex(A)$，记做 $SG(u)=mex(A)$
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例图：
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<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2020/06/25/30334_2388c086b6-%E6%97%A0%E6%A0%87%E9%A2%98.png'></center>
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例图解释：
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$SG(5)=mex({\phi})=0$
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$SG(3)=mex({SG(5)})=mex({0})=1$
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$SG(4)=mex({SG(5),SG(3)})=mex({0,1})=2$
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$SG(2)=mex({SG(3)}=mex({1})=0$
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$SG(1)=mex({SG(2),SG(4)})=mex({0,2})=1$
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#### 本题思路
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- 如果只有一个棋子（棋子位置是$s$）：
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先手必胜 $\Leftrightarrow $ `sg(s)!=0`
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- 存在多个棋子（其实可以看成存在多个相同的棋盘，棋子的位置是$s_1,…,s_k$
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先手必胜 $\Leftrightarrow $ `sg(s1)^sg(s2)^...^sg(sk) != 0`
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### 三、实现代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 2010, M = 6010;
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// SG函数模板题
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int n, m, k;
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int f[N];
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int h[N], e[M], ne[M], idx;
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void add(int a, int b) {
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e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
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}
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int sg(int u) {
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//记忆化搜索
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if (~f[u]) return f[u];
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//找出当前结点u的所有出边，看看哪个sg值没有使用过
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set<int> S;
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for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
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S.insert(sg(e[i]));
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//找到第一个没有出现的过的自然数， 0,1,2,3,4,...
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for (int i = 0;; i++)
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if (S.count(i) == 0) {
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f[u] = i;
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break;
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}
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return f[u];
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}
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int main() {
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memset(h, -1, sizeof h);
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cin >> n >> m >> k;
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while (m--) {
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int a, b;
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cin >> a >> b;
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add(a, b);
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}
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memset(f, -1, sizeof f); //初始化sg函数的结果表
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int res = 0;
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while (k--) {
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int u;
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cin >> u;
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res ^= sg(u); //计算每个出发点的sg(u)，然后异或在一起
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}
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if (res) //所有出发点的异或和不等于0,先手必胜
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puts("win");
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else //所有出发点的异或和等于0，先手必败
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puts("lose");
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return 0;
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}
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``` |
