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AcWing 344. 观光之旅

一、题目描述

给定一张无向图，求图中一个 至少包含 3 个点 的环，环上的节点不重复，并且环上的边的长度之和最小。

该问题称为 无向图的最小环问题。

你需要输出最小环的方案，若最小环不唯一，输出任意一个均可。

输入格式 第一行包含两个整数 N 和 M，表示无向图有 N 个点，M 条边。

接下来 M 行，每行包含三个整数 u，v，l，表示点 u 和点 v 之间有一条边，边长为 l。

输出格式 输出占一行，包含最小环的所有节点（按顺序输出），如果不存在则输出 No solution.。

数据范围 1≤N≤100,1≤M≤10000,1≤l<500

输入样例：

5 7
1 4 1
1 3 300
3 1 10
1 2 16
2 3 100
2 5 15
5 3 20

输出样例：

1 3 5 2

二、floyd + dp 求最小环模板(最少三点)

floyd是 插点 算法，在点k被 插入前 可计算i->x>j,x \in [1 \sim k-1]这样的最短路,当然，也可以不选择任何一个中间点，dist[i][j]天生最小。

枚举所有以k为环中 最大节点 的环即可。

解释：k是从1\sim n的，说它是最大节点，是指每次插入的节点号最大，并不表示在环中它一定比i,j还大。

三、floyd+dp

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int g[N][N], dist[N][N];
int path[N], idx;
int mid[N][N];
int ans = INF;

// i->j之间的最短路径中途经点有哪些
void get_path(int i, int j) {
    int k = mid[i][j]; // 获取中间转移点
    if (!k) return;    // 如果i,j之间没有中间点，停止
    get_path(i, k);    // 递归前半段
    path[idx++] = k;   // 记录k节点
    get_path(k, j);    // 递归后半段
}

int main() {
    // n个顶点，m条边
    scanf("%d %d", &n, &m);

    // 初始化邻接矩阵
    memset(g, 0x3f, sizeof g);
    for (int i = 1; i <= n; i++) g[i][i] = 0; // 邻接矩阵，自己到自己距离是0

    while (m--) {
        int a, b, c;
        scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c); // 求最短路之类，(a,b)之间多条边输入只保留最短边
    }

    // 把原始地图复制出来到生成最短距离dist
    memcpy(dist, g, sizeof dist);

    for (int k = 1; k <= n; k++) { // 枚举每一个引入点k来连接缩短i,j的距离
        /*
        Q1:为什么循环的时候i和j都需要小于k?
        A:为了避免经过相同的点，比如i == k时，三个点就变成两个点了。
        其实循环到n也是可以的，不过当i, j, k中有两个相同时就要continue一下

        Q2:为什么非得把DP的这段代码嵌入到Floyd的整体代码中，不能先Floyd后再进行DP吗？
        A:是不可以的。因为在进行插入节点号为k时，其实dist[i][j]中记录的是1~k-1插点后的最小距离，
        而不是全部插入点后的最短距离。
        */
        for (int i = 1; i < k; i++)
            for (int j = i + 1; j < k; j++)
                if (g[i][k] + g[k][j] < ans - dist[i][j]) { // 减法防止爆INT
                    ans = dist[i][j] + g[i][k] + g[k][j];
                    // 找到更小的环，需要记录路径,并且要求: 最小环的所有节点（按顺序输出）
                    //  顺序
                    //  1. 上面的i,j枚举逻辑是j>i,所以i是第一个
                    //  2. i->j 中间的路线不明，需要用get_path进行查询出i->j的最短路径怎么走,当然，也是在<k的范围内的
                    //  3. 记录j
                    //  4. 记录k
                    idx = 0;
                    path[idx++] = i;
                    get_path(i, j); // i是怎么到达j的？就是问dist[i][j]是怎么获取到的，这是在求最短路径过程中的一个路径记录问题
                    path[idx++] = j;
                    path[idx++] = k;
                }

        // 正常floyd
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                if (dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]) {
                    dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
                    mid[i][j] = k; // 记录路径i->j 是通过k进行转移的
                }
    }

    if (ans == INF)
        puts("No solution.");
    else
        for (int i = 0; i < idx; i++) cout << path[i] << ' ';

    return 0;
}