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一、题目描述
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 v_i，价值是 w_i。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出 字典序最小的方案。这里的字典序是指：所选物品的编号所构成的序列。物品的编号范围是 1…N。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 v_i,w_i，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。
输出格式 输出一行，包含若干个用空格隔开的整数，表示最优解中所选物品的编号序列，且该编号序列的字典序最小。
物品编号范围是 1…N。
数据范围
0<N,V≤1000
0<v_i,w_i≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 6
输出样例：
1 4
二、只能使用二维状态表示
因为 求具体的方案，我们就 不能采取之前滚动数组优化版本的 01背包，因为这样会损失一些具体方案.
三、如何确保字典序最小？
因为要求字典序最小，那么我们肯定采取贪心策略: 能选序号小的就选序号小的
举个栗子,给定一个原始朴素版本的01背包数据：
2 3
2 4
2 4
输出答案:
4
这个非常好理解吧：有两个物品，一个体积为3的背包，每个物品只能选择或不选择，问最终不超过背包体积上限3时，最大价值是多少?
在原始的版本中，是不强调序号的概念的，最终只要最大值正确就可以，不关心是从哪个序号过来的，比如本题，其实是可以选择1号物品获取到4个价值，当然也可以选择2号物品获取4个价值。
用下面的代码模拟跑一下：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m, v[N], w[N];
int f[N][N];
int main() {
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d %d", &v[i], &w[i]);
for (int j = 0; j <= m; j++) {
f[i][j] = f[i - 1][j];
if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
}
}
int j = m;
for (int i = n; i >= 1; i--)
if (j >= v[i] && f[i][j] == f[i - 1][j - v[i]] + w[i]) {
printf("%d ", i);
j -= v[i];
}
return 0;
}
输出的答案是:
2
这是什么意思？就是只要选择了序号为2的物品，就可以达到最大价值，最大价值是4。
Q:为什么代码输出的是2号，而不是1号呢？
我们来研究一下这段代码：
int j = m;
for (int i = n; i >= 1; i--)
if (j >= v[i] && f[i][j] == f[i - 1][j - v[i]] + w[i]) {
printf("%d ", i);
j -= v[i];
}
因为最终的最大值保存在f[n][m],如果想知道是怎么到达这个最大值状态的，需要从后向前枚举每个物品，如果剩余空间容量大于等于物品体积，就考查一下目前的最大值是不是由某个减去v_i的状态转移而来，如果是，就输出这个物品。
联想一下上面的栗子：2,1都是可以做为答案的，当然从后向前来枚举，每一个遇到的是2而不是1,就是 默认第一个遇到的有效，直接把体积减掉，继续向前考虑下一个子问题。这样的策略，肯定是大号在前，小号在后啊~,这样所求的是 字典序最大的。
所以我们应该反一下， 从后往前去遍历所有物品，这样f[1][m]就是最后答案，那么我们就 从前往后遍历就可以求具体方案，这样求的是字典序最小的。
倒推 状态转移路径 的时候，只能在 分叉转移 的时候，即 当前 物品既可以 选 又可以 不选 时，优先 选
因此，我们本题的 背包DP 需要倒过来（从N递推到1）做，然后再 从1倒推回N 找出路径
这样在抉择时，如果出现 分叉转移，我们就优先 选 当前物品即可
三、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1100;
int f[N][N];
int n, m;
int v[N], w[N];
int main() {
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d %d", &v[i], &w[i]);
for (int i = n; i >= 1; i--)
for (int j = 0; j <= m; j++) {
f[i][j] = f[i + 1][j];
if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i + 1][j - v[i]] + w[i]);
}
int j = m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (j >= v[i] && f[i][j] == (f[i + 1][j - v[i]] + w[i])) {
printf("%d ", i);
j -= v[i];
}
return 0;
}