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##[$AcWing$ $1021$. 货币系统 ](https://www.acwing.com/problem/content/1023/)
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**[【总结】背包问题的至多/恰好/至少](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15847138.html)**
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### 一、题目描述
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给你一个$n$种面值的货币系统，求组成面值为$m$的货币有多少种方案。
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**输入格式**
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第一行，包含两个整数$n$和$m$。
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接下来$n$行，每行包含一个整数，表示一种货币的面值。
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**输出格式**
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共一行，包含一个整数，表示方案数。
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**数据范围**
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$n≤15,m≤3000$
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**输入样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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3 10
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1
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2
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5
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```
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**输出样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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10
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```
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### 二、题目解析
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本题与上一题买书问题基本一模一样，只是方案数可能很大，需要用`long long`来存储。
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**状态表示**
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$f[i][j]$: 用前$i$种面值的货币组成面值 **恰好** 为$j$的方案数
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**状态转移方程**
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$$\large f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-v]$$
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边界状态为$f[i][0] = 1$
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### 三、实现代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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typedef long long LL;
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const int N = 20;
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const int M = 3010;
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int n, m;
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LL v[N];
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LL f[M];
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int main() {
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cin >> n >> m;
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f[0] = 1;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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cin >> v[i];
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for (int j = v[i]; j <= m; j++)
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f[j] += f[j - v[i]];
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}
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printf("%lld\n", f[m]);
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return 0;
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}
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```
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### 四、 重复组合公式
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**计算公式**
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从$n$个不同的元素每次取出$r$个元素的 **允许重复** 组合总数为:
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$$\large F(n,r)=C_{n+r-1}^r$$
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**证明**
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- **插板法原理**
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考虑这样一个问题：把$10$个苹果分给$3$人，每人至少分$1$个，有多少种分法？
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我们这样考虑：把$10$个苹果分给$3$人，我们就要在$9$个空格里面插入$2$块板，就会分为$3$部分，且每部分都至少$1$个，故有$C_9^{2}$种。如图的插板方式，就是甲分$3$个，乙分$5$个，丙分$2$个。
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- **变式$1$**
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将上述问题略加变化：把$10$个苹果分给$3$人，每人可以不分，有多少种分法？
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这时我们要向第一种情况转化，可以假设甲、乙、丙三人本来都有苹果，他们都拿一个苹果出来，一起分，这样他们每人就至少要一个苹果了。
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我们就要在$9+3=12$个空格里面插入$2$块板，就会分为$3$部分，且每部分都至少$1$个，故有$C_{12}^2$种。如图的插板方式，就是甲分$3-1=2$个，乙分$8-1=7$个，丙分$2-1=1$个。
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- **变式$2$**
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继续深入讨论：把$10$个苹果分给$3$人，甲至少要$2$个，乙至少要$3$个，丙可以不要，有多少种分法？
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我们还要向第一种情况转化，可以假设先给甲$1$个、给乙$2$个、而丙自己先拿出来$1$个，这样他们分余下的苹果时，**每人至少要一个苹果就可以了**。
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我们就要在$9-3+1=7$个空格里面插入$2$块板，就会分为$3$部分，且每部分都至少$1$个，故有$C_7^2$种。如图的插板方式，就是甲分$3+1=4$个，乙分$2+2=4$个，丙分$3-1=2$个。
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> **[高中数学题练习链接](https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzU5OTQ2NzIzNw==&mid=2247498459&idx=1&sn=7309883315d9139a0e70a73e041b2183&chksm=feb6cf51c9c146475e12aab57f88c13f4c33fe214ca1d05a7aaff4f9df4fb257c4ba795f9a94&scene=27)**
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回到本题，理解为 **变式$2$**, 每个盒子里可以没有被选择的数字，也就是$0$个,为了适应 **隔板法**,通过构造的办法，我们认为每个盒子先拿出来一个，这样，最起码它最后能有$1$个,也就是$n+r$个小球，此时，可以放隔板的位置就是$n+r-1$个，需要选择的位置数是$r$：
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$$\large F(n,r)=C_{n+r-1}^r$$
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证毕
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**利用公式估算数据范围**
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$$\LARGE C_{3000+15-1}^{3000}=C_{3014}^{14}=\frac{3014!}{14!\times 3000!}=\frac{3001\times ... \times 3014}{14!}$$
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**最坏的情况**
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上面我们的思考和假设，都是 **一样的小球**,也就是对应着所以货币的面额都是$1$,要求组合成价值$3000$的货币,每种货币无个数限制。
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由于题目中说了，每种货币的价值并不相同，也就是上面论述的每个盒子里面不能随意放入最多$r$个小球，受每个盒子上限不同的限制。根据公式求出的数值，肯定是大于真实的数值。
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按公式计算出的数值,要大于`int`的范围,如果此题数据为最坏情况，那么`long long`也会爆掉。
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