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AcWing 419. FBI树

一、题目描述

我们可以把由 0 和 1 组成的字符串分为三类：全 0 串称为 B 串，全 1 串称为 I 串，既含 0 又含 1 的串则称为 F 串。

FBI 树是一种二叉树，它的结点类型也包括 F 结点，B 结点和 I 结点三种。

由一个长度为 2^N 的 01 串 S 可以构造出一棵 FBI 树 T，递归的构造方法如下：

T 的根结点为 R，其类型与串 S 的类型相同； 若串 S 的长度大于 1，将串 S 从中间分开，分为等长的左右子串 S_1 和 S_2 ；由左子串 S_1 构造 R 的左子树 T_1，由右子串 S_2 构造 R 的右子树 T_2。 现在给定一个长度为 2^N 的 01 串，请用上述构造方法构造出一棵 FBI 树，并输出它的后序遍历序列。

输入格式 第一行是一个整数 N。

第二行是一个长度为 2^N 的 01 串。

输出格式 包含一行，这一行只包含一个字符串，即 FBI 树的后序遍历序列。

数据范围 0≤N≤10

输入样例：

3
10001011

输出样例：

IBFBBBFIBFIIIFF

二、算法

(递归,二叉树) O((N+1)2^N) 对于样例来说，我们可以得到如下所示的满二叉树：

可以递归处理整棵树，我们发现当输入字符串固定时，整棵树也就固定了，因此可以将字符串当做递归函数传入的参数。

由于要输出后序遍历，因此需要先输出左子树和右子树，再输出当前节点的信息。

从图中可以发现，左子树所对应的字符串即是当前字符串的前半段，右子树所对应的字符串是后半段。因此依次递归处理字符串的前半段和后半段即可。

最后需要判断当前节点的类型，这里可以统计一下当前字符串中0和1的包含情况。

时间复杂度 在每个递归函数内判断当前节点的类型时，均需要遍历一遍整个字符串，因此时间复杂度是线性的。从上图中可以发现，整棵树一共有 N+1 层，每层总共会遍历 O(N) 的长度，因此总时间复杂度是 O(N+1)2^N。

注:因为要判断每个字符串中0和1的个数，需要扫描一遍全部字符，就是整体上看是2^N,有N+1层

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

void dfs(string str) {
    if (str.size() > 1) {
        dfs(str.substr(0, str.size() / 2)); // 左子树
        dfs(str.substr(str.size() / 2));    // 右子树
    }
    // 我该输出啥？
    int one = 0, zero = 0;
    for (int i = 0; i < str.size(); i++)
        if (str[i] == '0')
            zero++;
        else
            one++;

    if (one && zero)
        cout << 'F';
    else if (one)
        cout << 'I';
    else
        cout << 'B';
}

int main() {
    int n;
    string str;
    cin >> n >> str;

    dfs(str);
    return 0;
}