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## [$AcWing$ $1163$. 纪念品](https://www.acwing.com/problem/content/description/1165/)
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### 一、题目描述
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小伟突然获得一种超能力，他知道未来 $T$ 天 $N$ 种纪念品每天的价格。
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某个纪念品的价格是指购买一个该纪念品所需的金币数量，以及卖出一个该纪念品换回的金币数量。
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每天，小伟可以进行以下两种交易无限次：
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任选一个纪念品，若手上有足够金币，以当日价格购买该纪念品，**注意** 同一个纪念品可以在同一天重复买；
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卖出持有的任意一个纪念品，以当日价格换回金币。
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每天卖出纪念品换回的金币可以立即用于购买纪念品，当日购买的纪念品也可以当日卖出换回金币。
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当然，一直持有纪念品也是可以的。
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$T$ 天之后，小伟的超能力消失。
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因此他一定会在第 $T$ 天卖出所有纪念品换回金币。
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小伟现在有 $M$ 枚金币，他想要在超能力消失后拥有尽可能多的金币。
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**输入格式**
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第一行包含三个正整数 $T,N,M$，相邻两数之间以一个空格分开，分别代表未来天数 $T$，纪念品数量 $N$，小伟现在拥有的金币数量 $M$。
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接下来 $T$ 行，每行包含 $N$ 个正整数，相邻两数之间以一个空格分隔。第 $i$ 行的 $N$ 个正整数分别为 $P_{i,1}，P_{i,2},……,P_{i,N}$，其中 $P_{i,j}$ 表示第 $i$ 天第 $j$ 种纪念品的价格。
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**输出格式**
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输出仅一行，包含一个正整数，表示小伟在超能力消失后最多能拥有的金币数量。
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**数据范围**
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对于 $10\%$ 的数据，$T=1$。
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对于 $30\%$ 的数据，$T≤4,N≤4,M≤100$，所有价格 $10≤P_{i,j}≤100$。
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对于 $15\%$ 的数据，$T≤100,N=1$。
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对于 $15\%$ 的数据，$T=2,N≤100$。
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对于 $100\%$ 的数据，$T≤100,N≤100,M≤10^3$，所有价格 $1≤P_{i,j}≤10^4$，数据保证任意时刻，小明手上的金币数不可能超过 $10^4$。
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**输入样例1**：
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```cpp {.line-numbers}
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6 1 100
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50
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20
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25
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20
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25
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50
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```
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**输出样例1**：
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```cpp {.line-numbers}
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305
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```
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**输入样例2**：
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```cpp {.line-numbers}
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3 3 100
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10 20 15
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15 17 13
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15 25 16
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```
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**输出样例2**：
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```cpp {.line-numbers}
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217
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```
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**样例解释**
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样例#1：
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最佳策略是：
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- 第二天花光所有 $100$ 枚金币买入 $5$ 个纪念品 $1$；
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- 第三天卖出 $5$ 个纪念品 $1$，获得金币 $125$ 枚；
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- 第四天买入 $6$ 个纪念品 $1$，剩余 $5$ 枚金币；
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- 第六天必须卖出所有纪念品换回 $300$ 枚金币，第四天剩余 $5$ 枚金币,共 $305$ 枚金币。
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超能力消失后，小伟最多拥有 $305$ 枚金币。
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样例#2：
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最佳策略是：
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- 第一天花光所有金币买入 $10$ 个纪念品 $1$；
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- 第二天卖出全部纪念品 $1$ 得到 $150$ 枚金币并买入 $8$ 个纪念品 $2$ 和 $1$ 个纪念品 $3$，剩余 $1$ 枚金币；
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- 第三天必须卖出所有纪念品换回 $216$ 枚金币，第二天剩余 $1$ 枚金币，共 $217$ 枚金币。
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超能力消失后，小伟最多拥有 $217$ 枚金币。
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### 二、算法解析
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**(贪心,$DP$) $O(TNM)$**
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**关键点**
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> 在某一种方案中，如果我们在第$i$天买入第$j$天卖出，其中 $i<j$，则等价于在第 $i$天买入，第 $i+1$ 天卖出，第 $i+1$ 天再买入, …, 在第 $j$ 天卖出。
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> <font color='red' size=4><b>解读</b></font>：比如纪念品$A$,我们假设最优策略是第$1$天买入，第$7$天卖出是最优的，可以选择的等价策略是第$1$天买入，第$2$天卖出，第$2$天再买入，第$3$天卖出,...,第$7$天卖出，这与我们的原始策略是一样的。
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> 按数学思路来说明一下，第$1$天买入，第$7$天卖出=$P_7-P_1$
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> 第$1$天买入，第$2$天卖出，第$2$天买入，第$3$天卖出,...第$7$天卖出$=-P_1+P_2-P_2+P_3-P_3+P_4-P_4+P_5-P_5+P_6-P_6+P_7=P_7-P_1$
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> 两者是一样的。
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这样的话，所有交易不会跨两天，因此目标就变成了 **贪心策略**：先尽可能使第二天的钱最多，再尽可能使第三天的钱最多，依次类推直到最后一天。
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> <font color='red' size=4><b>解读</b></font>：这个为什么是正确的呢？
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> 可以用反证法：如果我第$2$天亏一些，有没有可能让第$3$天更赚呢？
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> 这是不可能的，比如第$2$天我剩下的钱是可能是$m_1$个金币，也可能是$m_2$个金币，而且满足$m_1<m_2$,那么$m_2$一定比$m_1$要好，这是显然的，为什么呢？
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因为我在购买下一天的纪念品的时候，肯定是手中的钱越多越多，因为如果钱少，那么可能有些纪念品我就买不起，就会少一些机会，结果不可能变得更好。$m_1$块钱可以购买的所有纪念品，$m_2$块钱肯定是可以购买到的，反过来就不是了。$m_2$考虑的所有方案，一定包含$m_1$考虑的所有方案,所以$m_2$考虑所有方案的最大值一定比$m_1$考虑的所有方案的最大值要大。所以，得到结论：我们每天都要争取最大值，这样，最终就是最大值。
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>
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>**注：类似于邻项交换的贪心策略**
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接下来的问题变成：
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> 假设第 $i$ 天的钱数是 $m_i$，那么第 $i+1$ 天的钱数最多是多少呢？
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这是一个经典的 **完全背包** 问题：
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- 背包容量是 $m_i$；
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- 每个股票都是一种物品，体积是第 $i$ 天买入的价格，价值在第 $i$ 天买入第 $i+1$ 天卖出的收益；
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每天可以进行无限次交易，因此每种物品都是可以用无限次；
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那么第 $i+1$ 天的最大收益 $m_{i+1}$ 就是 $m_i$ 加上背包模型所求出的最大收益。
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本题时间复杂度恰好是 $10^8$，比较极限，因此可以加一些优化：
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- 只有当某支股票的收益为正数时，才考虑使用该物品。
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**时间复杂度**
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一共有 $T≤100$ 天，每天有 $N≤100$ 支股票，每天的钱数最大是 $M≤10000$。
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算法中一共会算 $T−1$ 次背包模型，每算一次的时间复杂度是 $O(NM)$，因此总时间复杂度是 $O(TNM)=10^8$。
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### 三、实现代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1010, M = 10010;
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int t, n, m;
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int f[M];
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int w[N][N];
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int main() {
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// 加快读入
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ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
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cin >> t >> n >> m;
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for (int i = 1; i <= t; i++)
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for (int j = 1; j <= n; j++)
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cin >> w[i][j];
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for (int i = 1; i < t; i++) { // t-1轮背包
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memset(f, 0, sizeof f);
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for (int j = 1; j <= n; j++)
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if (w[i + 1][j] > w[i][j]) // 优化：只有在价值为正数时才会考虑使用该物品
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for (int k = w[i][j]; k <= m; k++)
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f[k] = max(f[k], f[k - w[i][j]] + w[i + 1][j] - w[i][j]);
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m += f[m];
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}
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printf("%d\n", m);
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return 0;
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}
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``` |
