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## [$AcWing$ $448$. 表达式的值](https://www.acwing.com/problem/content/450/)
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### 一、题目描述
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对于 $1$ 位二进制变量定义两种运算：
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运算的优先级是：
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先计算括号内的，再计算括号外的。
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$×$ 运算优先于 $⊕$ 运算，即计算表达式时，先计算 $×$ 运算，再计算 $⊕$ 运算。
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例如：计算表达式 $A⊕B×C$ 时，先计算 $B×C$，其结果再与 $A$ 做 $⊕$ 运算。
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现给定一个未完成的表达式，例如 $\_+(\_*\_)$，请你在横线处填入数字 $0$ 或者 $1$，请问有多少种填法可以使得表达式的值为 $0$。
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**输入格式**
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第 $1$ 行为一个整数 $L$，表示给定的表达式中除去横线外的运算符和括号的个数。
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第 $2$ 行为一个字符串包含 $L$ 个字符，其中只包含 $(、)、+、*$ 这 $4$ 种字符，其中 $(、)$ 是左右括号，$+、*$ 分别表示前面定义的运算符 $⊕$ 和 $×$。
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这行字符按顺序给出了给定表达式中除去变量外的运算符和括号。
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**输出格式**
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输出包含一个整数，即所有的方案数。
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注意：这个数可能会很大，请输出方案数对 $10007$ 取模后的结果。
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**数据范围**
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$0≤L≤10^5$
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**输入样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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4
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+(*)
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```
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**输出样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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3
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```
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### 二、题目解析
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每一个中缀表达式都对应一棵满二叉树：
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叶节点是数值；
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内部节点是操作符，可能是$+, *$；
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然后树形$DP$即可，每个节点存两个状态：该节点等于$0$的方案数、该节点等于$1$的方案数。
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这其实就是一个用公式递推的过程。每一步计算下一步答案为$0$或$1$的方法数：设两个步骤的运算结果经过每个符号到一个结果时，
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- 第一个运算结果算出$0$的方案数为$a[0]$，$1$的方案数为$a[1]$。
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- 第二个算出$0$的方案数为$b[0]$，算出$1$的方案数为$b[1]$
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则有：
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- 当符号是$⊕$时
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- 得到$0$的方案数: $a[0]*b[0]$
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- 得到$1$的方案数：$a[0]*b[1]+a[1]*b[0]+a[1]*b[1]$
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- 当符号是$×$时
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- 得到$0$的方案数:$a[0]*b[0]+a[0]*b[1]+a[1]*b[0]$
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- 得到$1$的方案数:$a[1]*b[1]$
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实际上我们也不需要将二叉树重建出来，直接在用栈模拟的过程中$DP$即可，这是因为栈模拟的顺序和深度优先遍历二叉树的顺序是相同的。
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### 三、实现代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 100010, mod = 10007;
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/*
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整体理解为一个表达式二叉树，每个节点是一个运算完的结果。
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本题中要模拟的数字，在表达式二叉树中，其实是叶子节点，
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stack<vector<int>> num; 中，入栈的每一个对象，其实都是一个只有两个
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长度的小整数数组，分别是a[0],a[1],分别代表是0的方案数量，是1的方案数量
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对于叶子节点而言，可以是1也可以是0，方案数量都是1种。
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所以下面的代码中会有num.push({1, 1});
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*/
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stack<char> op; // 运算符栈
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stack<vector<int>> num; // 得0的方案数num[0],得1的方案数num[1]
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// 运算符优化级
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unordered_map<char, int> h = {{'+', 1}, {'*', 2}};
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void eval() {
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// 运算符
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auto c = op.top();
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op.pop();
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// 两个数，本题的弹出顺序不重要，事实上是先b后a,因为是栈
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auto b = num.top();
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num.pop();
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auto a = num.top();
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num.pop();
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// ⊕ 运算符
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if (c == '+')
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num.push({a[0] * b[0] % mod,
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(a[0] * b[1] + a[1] * b[0] + a[1] * b[1]) % mod});
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else // × 运算符
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num.push({(a[0] * b[0] + a[1] * b[0] + a[0] * b[1]) % mod,
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a[1] * b[1] % mod});
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}
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int main() {
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int n;
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string expr;
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cin >> n >> expr;
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// 第一个位置,需要放上一个数字，可以是0也可以是1，方案数都是1
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num.push({1, 1});
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for (auto c : expr) { // 读入表达式
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if (c == '(')
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op.push(c); // 左括号入栈
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else if (c == '+' || c == '*') {
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// 通过while循环，把栈内的表达式先计算出结果,再将当前操作符入栈
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while (op.size() && h[op.top()] >= h[c]) eval();
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op.push(c);
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// 处理完操作符，需要模拟下面的数字是0，还是1
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num.push({1, 1}); // 无论是0还是1，方案数都是1,这样所有情况都考虑到了
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} else { // 右括号
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while (op.top() != '(') eval();
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op.pop();
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}
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}
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// 1*1-0 类似这样的表达式，op栈中应该有*-两种符号，需要再次弹栈计算
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while (op.size()) eval();
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cout << num.top()[0] << endl;
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return 0;
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}
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``` |
