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AcWing 439. 细胞分裂

一、预备知识

整数除法向上取整

二、题意分析

• 细胞分裂到一定的数量，可以 平均分布 到各个试管中。

  这句话的意思就是说：细胞数量能 整除 试管的数量，并且是 最少的分裂步数。

  试管的数量M=m_1^{m_2},其中m_1<=3000,m_2<=1000，这玩意太大了，不可能直接算！既然不能直接算，就要想想 算术基本定理中关于整除的相关内容：

  说白了，就是把试管数分解质数因子，不光要记录质数因子有哪些，还要记录每个质数因数有多少个。

• 遍历每种细胞，拿试管个数的每一个质因数对细胞的每秒分裂个数进行取模，模如果不为0，则表示不管咋分裂，最后也不出来这个试管数量的倍数！

• 如果通过了检查，那么一定是可以通过不断的分裂成为试管数量的倍数的。

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1010;
/*
解析：
这一题其实就是分解质因数，把试管数和每种细胞分解质因数，试管有的质因数细胞也要有，才能在一段时间后装入试管。

分解质数因子的结果(对试管的数量进行质数因子分解的结果)
*/
struct Node {
    int number; // 质数因子
    int count;  // 质数因子的个数
} a[N];
int al; // 这个al是配合a[N]使用的下标变量

// 试管的总数 M=m1^m2
int m1; // 试管的数量底
int m2; // 试管的数量幂
int n;  // 细胞种数

// 预求最小，先设最大
int mi = INF;

/**
测试数据
2
24 1
30 12

2  两种细胞
24 1  m1=24,m2=1 ，pow(m1,m2)=pow(24,1)=24 试管个数
30 12 第一种细胞，每秒分裂30个；第二种细胞，每秒分裂12个。

答案：2

解析：
 第1种细胞，每秒分裂30个。24分解质因数为=2*2*2*3，
 而30%2=0，30%3=0，所以30肯定可以通过不断分裂成为24的个倍数。
 30里面有1个2，1个3，1个5。要想达到3个2，需要3个30相乘。按本题上下文来说，就是分裂3次。
 乘上一个30，就可以多出一个2的因子，需要3个，就是需要3秒。

 第2种细胞，从1个细胞开始，第一秒分裂为12个，第二秒就是 12*12个，也就是144个。而144/24=6，
 就是说明此时可以平均分布到每个试管中了。
 */
int main() {
    // 读入
    cin >> n >> m1 >> m2;

    // 对x进行分解质数因子
    for (int i = 2; i <= m1; i++) {
        if (m1 % i == 0) {        // 如果m1可以整除因子i
            a[++al].number = i;   // a数组从下标1开始，记录数字
            while (m1 % i == 0) { // 采用能除尽除的思路
                m1 /= i;
                a[al].count++; // 记录质数因子的个数
            }
            a[al].count *= m2; // 换算成试管的总数,因为原题是m1^m2,所以可以分解成每个质数因子的m2次方的乘积
        }
    }

    // 遍历n类细胞，看看谁的分裂时间最快(就是求最小值)能平均分配到试管中
    while (n--) {
        int s; // 每秒钟的分裂个数
        cin >> s;

        // 是否可以成功装入容器的标识
        bool flag = true;
        // 遍历每个m1的质数因子
        for (int i = 1; i <= al; i++)
            // 一旦发现s在没有分裂前就没有质数因子a[i],那么就永远不可能分裂出m1^m2的倍数了
            if (s % a[i].number != 0) {
                flag = false;
                break;
            }
        // 如果所有质数因子都存在，那么就一定可以通过分裂达到一定次数后，成为m1^m2的倍数
        // 如果不是所有质数因子存在，那么这种细胞就需要放弃掉了，因为永远都不可能放到M个试管中去。
        if (flag) {
            // 这里的最大值初始化为0是有意义的，要注意，不能使用-INF，这样就成功躲过了0
            int mx = 0;

            // 遍历m1的每一个质数因子
            for (int i = 1; i <= al; i++) {
                // s中每一个质数因子出现的个数
                int cnt = 0;
                // 分解质因数
                while (s % a[i].number == 0) {
                    s /= a[i].number;
                    cnt++;
                }
                /*
                细胞的每秒分裂数：s
                s里面质数因子a[i]的个数:cnt
                想在达到或超过的质数因子a[i]的个数：a[i].count
                以s=30为例，观察它当中质因子2的变化情况
                0秒 1个
                1秒 30个    30=2*3*5
                2秒 30*30个 30*30=2*3*5*2*3*5
                3秒 30*30*30个 30*30*30= 2*3*5*2*3*5*2*3*5
                看出来了吧，每秒都是原来的30倍个，但因子2的增加，可是1个1个增加的。
                为什么是1个呢？因为30原来的质数因子就只有1个2，如果有2个2，就是2个2个增加的。

                总结一下：以30为例，因为只有1个2这个质数因子，那么，如果需要3个2，就需要分裂3秒！
                如果需要a[i].count这么多个质数因子，就要找出原配带来cnt个的，经过几秒才能等于或超过。
                C++的整数除法上取整~
                */
                // 方法1:
                // int second = (a[i].count - 1) / cnt + 1;

                // 方法2:
                int second = ceil(1.0 * a[i].count / cnt); // 需要多少秒

                // 找出s中幂指数最大的
                mx = max(mx, second);
            }
            mi = min(mi, mx); // 最少秒时可以装进试管
        }
    }
    if (mi == INF)
        printf("-1"); // 如果没有改变，输出-1
    else
        printf("%d", mi); // 输出结果
    return 0;
}