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AcWing 424. 循环
一、题目描述
乐乐是一个聪明而又勤奋好学的孩子。
他总喜欢探求事物的规律。
一天，他突然对数的正整数次幂产生了兴趣。
众所周知，2 的正整数次幂最后一位数总是不断的在重复 2，4，8，6，2，4，8，6......
我们说 2 的正整数次幂最后一位的循环长度是 4（实际上 4 的倍数都可以说是循环长度，但我们只考虑最小的循环长度）。
类似的，其余的数字的正整数次幂最后一位数也有类似的循环现象：
这时乐乐的问题就出来了：是不是只有最后一位才有这样的循环呢？对于一个整数 n 的正整数次幂来说，它的后 k 位是否会发生循环？如果循环的话，循环长度是多少呢？
注意：
- 如果
n的某个正整数次幂的位数不足k，那么不足的高位看做是0。 - 如果循环长度是
L，那么说明对于任意的正整数a，n的a次幂和a+L次幂的最后k位都相同。
输入格式
输入文件只有一行，包含两个整数 n 和 k，n 和 k 之间用一个空格隔开，表示要求 n 的正整数次幂的最后 k 位的循环长度。
输出格式 输出文件包括一行，这一行只包含一个整数，表示循环长度。
如果循环不存在，输出 −1。
数据范围
1≤n≤10100,1≤k≤100
输入样例：
32 2
输出样例：
4
举栗子：
32^1=32 ,32^2=1024,32^3=32768,32^4=1048576
32^5=33554432,
此时发现后2位开始循环，而循环节的长度是4
二、解题思路
一道模拟题，需要用到 高精度乘法。
首先，既然我们要求的是后 k 位的循环节，那前面的循环节我们就不管了。
引理：如果已知后
k − 1位的循环节，那么后k位的循环节一定就是它的倍数。
开始模拟找规律，举栗子: (8123, 4)
解释： (
8123,1)指8123的后1位循环节; (8123,2)指8123的后2位循环节, ....
8123 1
第 1 次：8123 * 8123 = 65983129
第 2 次：3129 * 8123 = 25416867
第 3 次：6867 * 8123 = 55780641
第 4 次：0641 * 8123 = 05206843
8123 ^ 4 = 4353773312630641
可以发现，在乘第 4 次的时候，最后 1 位出现了循环(数字3)，循环节为 4 ，那么最后的答案一定就是 4 的倍数。
解释：如果最后一位想要重复出现,最小的循环数是
4次。
如果把乘数换一下，不再是傻傻的用8123去一次次乘，而是换成 0641 ，即 8123^4 的后 4 位。这样乘 1 次 0641 就等于乘了 4 次 8123 ，而且，乘 0641 还能保证最后 1 位永远是 3 ，因为 8123^{4+1} 的最后一位都是 3 。
这样，我们就可以不用再去管后 1 位了，而去处理后 2 位。
8123 2
第 1 次：8123 * 0641 = 05206843
第 2 次：6843 * 0641 = 04386363
第 3 次：6363 * 0641 = 04078683
第 4 次：8683 * 0641 = 05565803
第 5 次：5803 * 0641 = 03719723
0641 ^ 5 = 108215668739201
最后 2 位的循环节是 5，我们再把乘数换成 9201。
8123 3
第 1 次：8123 * 9201 = 74739723
第 2 次：9723 * 9201 = 89461323
第 3 次：1323 * 9201 = 12172923
第 4 次：2923 * 9201 = 26894523
第 5 次：4523 * 9201 = 41616123
9201 ^ 5 = 65943979755726446001
8123 4
第 1 次：8123 * 6001 = 48746123
第 2 次：6123 * 6001 = 36744123
第 3 次：4123 * 6001 = 24742123
第 4 次：2123 * 6001 = 12740123
第 5 次：0123 * 6001 = 00738123
我们继续处理完后 3 位和后 4 位，得出了每 1 位的循环节，答案只要把它们累乘起来就可以了，即最后的答案为 4×5×5×5=500。
至此，我们求出了 8123后 4 位的循环长度。
由于我们在处理的时候，已经确保了后面的数字都不变，那么我们只要考虑当前这 1 位的循环节就行了，而 1 位的循环节最多为 10 。所以，我们处理每 1 位的时候，就都只要处理 10 次，如果还没出结果，那就直接输出 -1 并退出就行了。
因为我们每 1 位最多处理 10 次，每一次最多要耗费 k^2 的时间，所以时间复杂度约 O(k^3)，妥妥地能过！
还要注意一点，最后的答案要用高精度，否则会因为超过 long long 的范围而答案错误。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int K; // 求最后K位的循环节长度是多少
int a[N]; // 原始数组
int b[N]; // 工作数组
int cnt[N] = {1}; // 次数，也就是答案
int st[10];
// 高精乘高精,限长K,结果保存到a数组中
void mul(int a[], int b[]) {
int c[N] = {0}; // 临时数组
for (int i = 0; i < K; i++) // 只保留尾部K个，对应高精度数组，就是0~K-1
for (int j = 0; j < K; j++)
if (i + j < K) c[i + j] += a[i] * b[j]; // 防止越界，需要加上i+j<K的限制
for (int i = 0, t = 0; i < K; i++) {
t += c[i]; // 进位与当前位置的和
a[i] = t % 10; // 余数保留下来
t /= 10; // 进位
}
}
// 输出高精度结果
void print(int a[]) {
int i = N - 1;
while (i > 0 && !a[i]) i--; // 去除前导零
while (i >= 0) cout << a[i--]; // 逐位输出
}
int main() {
string s; // 这里之所以用string类型，是为了照顾高精度同学
cin >> s >> K; // 求最后k个长度的循环节长度是多少
// 放入高精度计算数组，注意是倒着放的,下标从0开始
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) a[s.size() - 1 - i] = s[i] - '0';
for (int i = 0; i < K; i++) { // 执行K轮,从后往前，每轮固定一个尾部数字
memset(st, 0, sizeof st); // 某个数字是不是出现过，桶
memcpy(b, a, sizeof a); // b数组初始化
int j;
for (j = 1; j <= 10; j++) { // 最多执行10次
mul(b, a); // 开始乘a
// 对于高精度数组而言，头部即数字尾部
// 随着轮次的增加，我们希望检查的位置也发生了变化，位置下标为i
// 如果当前计算的结果中，当前的计算位置，出现与原数字一样的数字,那么就是找到了循环节,此时的j就是我们想要收集的
if (b[i] == a[i]) break;
// 如果某个数字重复出现，却一直没有和原始的一样，表示它自己的循环轨迹和原始的不一样，永远也不可以一样了,无解
if (st[b[i]]) {
puts("-1");
exit(0);
};
st[b[i]] = 1; // 记录出现过的数字
}
// ① 累计次数
int c[N] = {j}; // 需要乘的次数,这里有用高精度乘高精度模拟高精度乘低精度
// 注意：即使j=10,上面的高精度乘法依然是有效的，因为在高精度乘法的内部采用的是模10进位的办法
mul(cnt, c); // 将次数累乘起来
// ② 变更乘数
memcpy(b, a, sizeof a); // 重新装载原始数字
for (int k = 1; k < j; k++) mul(b, a); // 反复乘j-1次
memcpy(a, b, sizeof b); // a升级了
}
print(cnt); // 输出高精度数组内容
return 0;
}