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## [$AcWing$ $459$. 螺旋矩阵](https://www.acwing.com/problem/content/461/)
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### 解题思路
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这道题绝对不能开一个二维数组去一个个模拟，这样空间会爆时间也会超.
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这题是一个典型的找规律题目，大家在纸上画图模拟找规律即可。
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若$n=5$,如下图所示
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一般这类问题都采用递归解决问题
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#### 先思考一下问题的边界有哪些?
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- $i==1$
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```cpp {.line-numbers}
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if (i == 1) return j;
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```
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- $i==n$
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```cpp {.line-numbers}
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if (i == n) return 3 * n - j - 1;
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// 观察最后一行，找规律：因为最后一行是通过上，右，下到达的
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// 上和右是即成事实，也就是2*n-1,而下中其实是取反：n-j,总的来说就是：
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// 3*n - j -1
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```
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- $j==1$
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```cpp {.line-numbers}
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if (j == 1) return 4 * n - i - 2;
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//参考上面的解释，同理推出是4*n-i-2,2就是因为第一行最后一列，最后一行最后一列是重复了2次
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```
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- $j==n$
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```cpp {.line-numbers}
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if (j == n) return n + i - 1;
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```
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#### 再讨论一下两个轮次之间的转化关系是什么？
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这里所说的轮次，就是矩阵的 **一圈**,怎么个转换法呢？
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其实，我们是从外到内进搜索的，所以，在搜索内部圈时，外部圈已经完成搜索。
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但由于$4$个角有重叠，所以就是$4*(n-1)$。
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对于外圈边长是$n$的为例，内圈就是$n-2$,(因为上下左右都是占用了两个嘛~)
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那$(i,j)$有什么变化呢？
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那当然就是$(i-1,j-1)$了~
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> $Q$:**为什么要选择这个的边界做为递归边界？**
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> 答：因为这样好计算，能把大问题转化为小问题后，导向这些边界，获取结果。
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### $Code$
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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// 推规律，1行j列为j，n行j列为3n-j-1，1行i列为4n-i-2，n行i列为n+i-1。
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int dfs(int n, int i, int j) {
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if (i == 1) return j;
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if (i == n) return 3 * n - j - 1;
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if (j == 1) return 4 * n - i - 2;
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if (j == n) return n + i - 1;
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return dfs(n - 2, i - 1, j - 1) + (n - 1) * 4;
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}
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int main() {
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int n, a, b;
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cin >> n >> a >> b;
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cout << dfs(n, a, b) << endl;
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return 0;
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}
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``` |
