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##[$AcWing$ $1057$. 股票买卖 $IV$](https://www.acwing.com/problem/content/1059/)
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### 一、题目描述
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给定一个长度为 $N$ 的数组，数组中的第 $i$ 个数字表示一个给定股票在第 $i$ 天的价格。
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设计一个算法来计算你所能获取的最大利润，你最多可以完成 $k$ 笔交易。
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注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。一次买入卖出合为一笔交易。
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**输入格式**
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第一行包含整数 $N$ 和 $k$，表示数组的长度以及你可以完成的最大交易笔数。
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第二行包含 $N$ 个不超过 $10000$ 的正整数，表示完整的数组。
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**输出格式**
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输出一个整数，表示最大利润。
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**数据范围**
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$1≤N≤10^5,1≤k≤100$
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**输入样例1**：
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```cpp {.line-numbers}
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3 2
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2 4 1
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```
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**输出样例1**：
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```cpp {.line-numbers}
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2
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```
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**输入样例2**：
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```cpp {.line-numbers}
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6 2
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3 2 6 5 0 3
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```
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**输出样例2**：
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```cpp {.line-numbers}
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7
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```
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**样例解释**
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样例$1$：在第 $1$ 天 (股票价格 = $2$) 的时候买入，在第 $2$ 天 (股票价格 = $4$) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = $4-2$ = $2$ 。
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样例$2$：在第 $2$ 天 (股票价格 = $2$) 的时候买入，在第 $3$ 天 (股票价格 = $6$) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = $6-2 = 4$ 。随后，在第 $5$ 天 (股票价格 = $0$) 的时候买入，在第 $6$ 天 (股票价格 = $3$) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 $= 3-0 = 3$ 。共计利润 $4+3 = 7$.
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### 二、题目解析
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<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/07/02/55909_e2c6226ada-%E7%AE%97%E6%B3%95%E6%8F%90%E9%AB%98%E8%AF%BE-dp-%E7%8A%B6%E6%80%81%E6%9C%BA.png'></center>
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下面以 **卖出行为** 构成一次完整的交易：
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> $Q$:为什么 **卖出行为** 会构成一次完整的交易,而不是把 **买入行为** 定义为一次完整的交易呢？要知道，把谁定义为一个完整交易的分界点，是会影响状态转移方程的！
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**答**:回到递推的起点，我们发现，最初时手中是没有持有股票的，这是一个完整轮回的起点，一个轮回是两个操作：买入，卖出，现在还没有买入，那么经过第一个操作买入后，当然也不是一个轮回结束，只有再执行一个操作卖出后，才又回到手中没有股票的状态，才是一个完整的轮回，这就是为什么以卖出的动作作为一个完整的交易标识的原因。
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### 三、进行到第$i$天，交易次数恰好是$j$
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这个题目很容易的可以拆分成两种状态: **手中没有股票,手中有股票**，用三维数组表示状态：
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**状态表示**
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- $f[i][j][0]$ 表示前$i$天中交易次数 <font color='red' size=4><b>恰好</b></font> 是$j$,当前状况为手中没有股票的利益最大值
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- $f[i][j][1]$ 表示前$i$天中交易次数 <font color='red' size=4><b>恰好</b></font> 是$j$,当前状况为手中拥有股票的利益最大值
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**状态转移方程**:
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$$f[i][j][0] = max(f[i-1][j][0] , f[i-1][j-1][1] + w[i])$$
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<font color='red' size=3><b>注意：这里是$j-1$,表示上一次交易是第$j-1$次，在它执行完卖出后，进入到下一次交易$j$了</b></font>
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$$f[i][j][1] = max(f[i-1][j][1] ,f[i-1][j][0] - w[i])$$
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**初始化**:
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**结果位置**
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- 买入不卖一定不是最优解,所以不用枚举$f[i][j][1]$的状态
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- 给定的最大交易数量$k$,我们不一定都能用了，比如我们用了$3$次就可以获取到最大利益，没有必要再用$1$次交易使我们的利益降低不是，所以，每个$f[n][i][0]$都有可能是最大价值，需要遍历一次找出最大值。
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#### $Code$
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1e5 + 10, M = 110;
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int n, k;
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int w[N];
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int f[N][M][2];
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// 以卖出做为一次完整交易的分界线
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// 二维定义是恰好
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int main() {
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cin >> n >> k;
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for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> w[i];
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memset(f, -0x3f, sizeof f); // 其它状态目前是无效状态或者是未知状态
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for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0][0] = 0; // 0次交易，手中无股票，最大收益是0
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for (int i = 1; i <= n; i++) { // 枚举每一天
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for (int j = 0; j <= k; j++) { // 枚举到这一天时，恰好进行了j次交易
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// ① 这个 if(j) 可以理解为先把后面的状态转移方程写出来，再观察一下，发现j>=1，否则数组索引出负值
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// ② 现实意义理解：如果 j=0时，就是上面进行的初始值是固定值，不需要转移
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// ③ 手中无股票的状态，可以由前一天手中无股票的状态，和，前一天手中有股票但卖出了，两种状态转移而来
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// ④ 最开始时，手中无股票，定义是原点，现在又到了手中无股票的状态，这是一个轮回，所以卖出是一个完整交易的临界点
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if (j) f[i][j][0] = max(f[i - 1][j][0], f[i - 1][j - 1][1] + w[i]);
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// ⑤ 手中有股票，要么是昨天手中股票，继续持有，要么是昨天手中无股票，购入了
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f[i][j][1] = max(f[i - 1][j][1], f[i - 1][j][0] - w[i]);
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}
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}
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int res = 0;
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for (int i = 0; i <= k; i++) res = max(res, f[n][i][0]);
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cout << res << endl;
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return 0;
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}
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```
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### 四、进行到第$i$天，交易次数最多是$j$
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**状态表示**
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- $f[i][j][0]$ 表示前$i$天中交易次数 <font color='red' size=4><b>最多</b></font> 是$j$,当前状况为手中没有股票的利益最大值
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- $f[i][j][1]$ 表示前$i$天中交易次数 <font color='red' size=4><b>最多</b></font> 是$j$,当前状况为手中有股票的利益最大值
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**状态转移方程**:
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$f[i][j][0] = max(f[i-1][j][0] , f[i-1][j-1][1] + w[i])$
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$f[i][j][1] = max(f[i-1][j][1] ,f[i-1][j][0] - w[i])$
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<font color='red' size=4><b>与恰好的状态转移方程是一样的，差别在于初值不同</b></font>
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**初始化**:
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**结果位置**
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- $f[n][k][0]$
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#### $Code$
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int INF = 0x3f3f3f3f;
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const int N = 1e5 + 10, M = 110;
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int n, k;
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int w[N];
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int f[N][M][2];
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// 以卖出做为一次完整交易的分界线
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// f[i][j][0/1]定义成 前i天 完成最多是j次交易 且 决策为0/1的集合
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int main() {
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cin >> n >> k;
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for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i];
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memset(f, -0x3f, sizeof f);
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for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0][0] = 0;
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for (int j = 0; j <= n; j++) f[0][j][0] = 0;
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// 下面两句，由于整体进行了初始化，就变得可以省略了
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// for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0][1] = -INF;
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// for (int j = 0; j <= n; j++) f[0][j][1] = -INF;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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for (int j = 0; j <= k; j++) {
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if (j) f[i][j][0] = max(f[i - 1][j][0], f[i - 1][j - 1][1] + w[i]);
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f[i][j][1] = max(f[i - 1][j][1], f[i - 1][j][0] - w[i]);
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}
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}
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cout << f[n][k][0] << endl;
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return 0;
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}
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```
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