|
|
##[$AcWing$ $849$. $Dijkstra$求最短路 $I$](https://www.acwing.com/problem/content/851/)
|
|
|
|
|
|
### 一、题目描述
|
|
|
给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值。
|
|
|
|
|
|
请你求出 $1$ 号点到 $n$ 号点的最短距离，如果无法从 $1$ 号点走到 $n$ 号点，则输出 $−1$。
|
|
|
|
|
|
**输入格式**
|
|
|
第一行包含整数 $n$ 和 $m$。
|
|
|
|
|
|
接下来 $m$ 行每行包含三个整数 $x,y,z$，表示存在一条从点 $x$ 到点 $y$ 的有向边，边长为 $z$。
|
|
|
|
|
|
**输出格式**
|
|
|
输出一个整数，表示 $1$ 号点到 $n$ 号点的最短距离。
|
|
|
|
|
|
如果路径不存在，则输出 $−1$。
|
|
|
|
|
|
**数据范围**
|
|
|
$1≤n≤500,1≤m≤10^5$,图中涉及边长均不超过$10000$。
|
|
|
|
|
|
**输入样例：**
|
|
|
```cpp {.line-numbers}
|
|
|
3 3
|
|
|
1 2 2
|
|
|
2 3 1
|
|
|
1 3 4
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
**输出样例：**
|
|
|
```cpp {.line-numbers}
|
|
|
3
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
### 二、算法思路
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$Dijkstra$ 的整体思路比较清晰,即进行$n$次迭代去确定每个点到起点的最小值,最后输出的终点的即为我们要找的最短路的距离。
|
|
|
|
|
|
按照这个思路除了存储图外我们还需要存储两个量:
|
|
|
|
|
|
```cpp {.line-numbers}
|
|
|
dist[n] //用于存储每个点到起点的最短距离
|
|
|
st[n] //用于在更新最短距离时 判断当前的点的最短距离是否确定 是否需要更新
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
每次迭代的过程中我们都 **先找到当前未确定的最短距离的点中距离最短的点**,（至于为什么是这样那么这就涉及到$Dijkstra$算法的具体数学证明了 有兴趣的同学可以百度一下）
|
|
|
```cpp {.line-numbers}
|
|
|
int t=-1; //将t设置为-1 因为Dijkstra算法适用于不存在负权边的图
|
|
|
for(int j=1;j<=n;j++){
|
|
|
if(!st[j]&&(t==-1||dist[t]>dist[j]) //该步骤即寻找还未确定最短路的点中路径最短的点
|
|
|
t=j;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
通过上述操作当前我们的$t$代表就是剩余未确定最短路的点中路径最短的点,而与此同时该点的最短路径也已经确定我们将该点标记:
|
|
|
```c++
|
|
|
st[t]=true;
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
然后用这个去更新其余未确定点的最短距离
|
|
|
|
|
|
进行$n$次迭代后最后就可以确定每个点的最短距离,然后再根据题意输出相应的要求的最短距离。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### 二、实现代码【这个代码不用背，直接背带堆优化版本的】
|
|
|
```cpp {.line-numbers}
|
|
|
#include <bits/stdc++.h>
|
|
|
|
|
|
using namespace std;
|
|
|
const int INF = 0x3f3f3f3f;
|
|
|
const int N = 510;
|
|
|
const int M = 1e5 + 10;
|
|
|
int n, m;
|
|
|
|
|
|
//邻接表
|
|
|
int h[N], w[M], e[M], ne[M], idx;
|
|
|
bool st[N]; //是否使用过
|
|
|
int dist[N]; //最短距离数组
|
|
|
|
|
|
//维护邻接表
|
|
|
void add(int a, int b, int c) {
|
|
|
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
int dijkstra() {
|
|
|
memset(dist, 0x3f, sizeof dist); //初始化为无穷大
|
|
|
dist[1] = 0; //出发点的距离初始化为0
|
|
|
|
|
|
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
|
|
//找到距离出发点最近的点
|
|
|
int t = -1;
|
|
|
for (int j = 1; j <= n; j++)
|
|
|
if (!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t]))
|
|
|
t = j;
|
|
|
|
|
|
st[t] = true;
|
|
|
for (int j = h[t]; ~j; j = ne[j]) {
|
|
|
int k = e[j];
|
|
|
dist[k] = min(dist[k], dist[t] + w[j]);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
return dist[n] == INF ? -1 : dist[n];
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
int main() {
|
|
|
cin >> n >> m;
|
|
|
memset(h, -1, sizeof h);
|
|
|
while (m--) {
|
|
|
int a, b, c;
|
|
|
cin >> a >> b >> c;
|
|
|
add(a, b, c);
|
|
|
}
|
|
|
//调用迪卡斯彻算法
|
|
|
int t = dijkstra();
|
|
|
printf("%d\n", t);
|
|
|
return 0;
|
|
|
}
|
|
|
``` |
