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##[$AcWing$ $890$. 能被整除的数](https://www.acwing.com/problem/content/892/)
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### 一、题目描述
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给定一个整数 $n$ 和 $m$ 个不同的质数 $p_1,p_2,…,p_m$。
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请你求出 $1$∼$n$ 中能被 $p_1,p_2,…,p_m$ 中的 **至少一个数整除的整数** 有多少个。
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**输入格式**
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第一行包含整数 $n$ 和 $m$。
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第二行包含 $m$ 个质数。
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**输出格式**
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输出一个整数，表示满足条件的整数的个数。
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**数据范围**
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$1≤m≤16,1≤n,p_i≤10^9$
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**输入样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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10 2
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2 3
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```
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**输出样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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7
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```
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### 二、理论知识
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韦恩图（又称文氏图）
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#### （1）两个圆相交求面积
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<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/08/64630_15fdbb137f-2.jpg'></center>
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$$\large S=S_1+S_2-S_1\cap S_2$$
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#### （2）三个圆相交求面积
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<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/05/64630_f2c5b5d07d-1.png'></center>
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$$\large S=S_1+S_2+S_3- S_1\cap S_2 -S_2\cap S_3 - S_1\cap S_3 + S_1\cap S_2 \cap S_3$$
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#### （3）四个圆相交求面积
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<center> <img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/08/64630_1d9fc0f87f-2.png'> </center>
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$$\large S=S_1+S_2 + S_3 + S_4 -S_1\cap S_2 -S_1\cap S_3 -S_1\cap S_4 - S_2\cap S_3 -S_2\cap S_4 -S_3\cap S_4 + S_1\cap S_2 \cap S_3 + S_1\cap S_2 \cap S_4+ S_2\cap S_3 \cap S_4 ++ S_1\cap S_3 \cap S_4 - S_1 \cap S_2 \cap S_3 \cap S_4$$
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上面，我们是用面积来考虑的问题，所以等式左边写的是$S$，也可以用集合来考虑，以$3$个圆为例，那就是
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$|S_1 \cup S_2 \cup S_3| =|S_1|+|S_2|+|S_3|- |S_1\cap S_2| -|S_2\cap S_3| - |S_1\cap S_3| + |S_1\cap S_2 \cap S_3|$
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其中$||$**代表集合中的元素个数**。
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#### （4）规律总结
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上面的求解过程，其实是在求 $C_n^1 - C_n^2+ ... + {(-1)}^{n-1}C_n^n$，
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也就理解为从$n$个选择1个，减去从$n$中选择$2$个，加上从$n$中选择$3$个，减去从$n$中减去$4$个...,也可以记为奇数个元素的集合是加，偶数个的（指相交）的集合是减。
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#### （5）经典例题
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容斥原理有个经典题目：一个班每个人都有自己喜欢的科目:
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* $20$人喜欢数学，$10$人喜欢语文，$11$人喜欢英语;
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* $3$人同时喜欢数学语文，$3$人同时喜欢语文英语，$4$人同时喜欢数学英语
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* $2$人都喜欢
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问全班有多少人？
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根据容斥原理，就是$\large S=S_1+S_2+S_3- S_1\cap S_2 -S_2\cap S_3 - S_1\cap S_3 + S_1\cap S_2 \cap S_3$
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班级人数=$20+10+11-3-3-4+2=33$
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### 三、本题思路
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**数学表达式**
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比如三个质数是$2，3，5$，$S_2$代表$2$的倍数集合，$S_3$代表$3$的倍数集合，$S_5$代表$5$的倍数集合，至少能被其中一个质数整除的总个数就是：
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$|S_2 \cup S_3 \cup S_5| = |S_2| + |S_3| +|S_5| -|S_2 \cap S_3| -|S_3 \cap S_5| -|S_2 \cap S_5|+|S_2 \cap S_3 \cap S_5|$
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> <font color='red' size=4><b>解释：上面表示式中$|S_2|$代表的是: $2$的倍数集合的数字个数</b></font>
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* **$Q1$:如何计算$|S_p|$这样的表达式数值?**
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$|S_p|$:**计算小于等于$n$中能整除掉$p$的数字个数** $\huge \lfloor \frac{n}{p} \rfloor$,$C++$默认就是下取整，不用再特殊处理。
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* **$Q2$:如何计算$|S_2 \cap S_3|$这样的表达式值?**
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题目给定的$p_i$都是质数，所以能被$2$整除，也能被$3$整除的数，肯定是能被$6$整除的数，所以就是 $|S_6|=|S_2 \cap S_3|$,这样，问题就转化成了问题$|S_p|$，也就会求解了！
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* **$Q3$:怎么把这些子项目都罗列出来?**
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其实罗列的是$p[i]$的所有组合方式！举个栗子： $\{2\},\{3\},\{5\},\{2,3\},\{3,5\},\{2,5\},\{2,3,5\}$共$7$种,也就是$2^3-1=7$种。
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**常用技巧:二进制数位枚举**
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**举个栗子：**
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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#define int long long
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#define endl "\n"
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int n, m; // n:质数个数，m:1~m的数字中有多少个可以被质数序列中至少一个整数整除。
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// 注意：代码里的n,m与模板题目中的含义相反！一定要注意!!!!!!!!!!!!
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vector<int> p; // 质数数组
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signed main() {
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cin >> m >> n; // 与m互质,n个质数！
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// 读入n个质数,为了使用vector<int>，读入时确实不太方便
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for (int i = 0; i < n; i++) {
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int x;
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cin >> x;
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p.push_back(x);
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}
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// ① 枚举从1到 2^n-1,每个数字，代表一种状态，每个状态代表一种质数的挑选办法
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// 当然，这些整数值的乘积可能大于n,大于的没用，只要小于等于n的
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int s = 0;
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for (int i = 1; i < 1 << p.size(); i++) {
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int t = 1, cnt = 0; // 累乘积，质因子个数
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// ② 在对应的整数值确定后，枚举此数值的每一个数位
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for (int j = 0; j < p.size(); j++)
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if (i >> j & 1) { // ③判断当前数位是不是1,是1表示当前数位选中
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if (t * p[j] > m) { // 乘积不能超过最大值m，控制在[1~m]范围内
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t = 0; // s=0代表本次挑选的组合失败，无效
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break; // 由于i是由小到大遍历的，前面的都无效了，后面的肯定更大，更无效，不用继续了
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}
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cnt++; // 选择的质因子个数
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t *= p[j]; // 累乘积
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}
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if (t) { // 超过范围的，s=0,所以，现在代表只讨论在范围内的
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if (cnt & 1) // 质数因子数量，奇数加
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s += m / t; // 引理内容，代表m里面有多少个这个数字s的倍数
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else // 偶数减
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s -= m / t;
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}
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}
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cout << s << endl;
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}
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``` |
