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##AcWing 896. 最长上升子序列 II

一、题目描述

给定一个长度为 N 的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长 是多少。

输入格式 第一行包含整数 N。

第二行包含 N 个整数，表示完整序列。

输出格式 输出一个整数，表示最大长度。

数据范围 1≤N≤100000， −10^9≤数列中的数≤10^9

输入样例：

7
3 1 2 1 8 5 6

输出样例：

4

二、贪心+二分优化

1、与朴素版本的区别

朴素版本状态表示：

• 集合:f[i]表示从第一个数字开始算，以 a[i] 结尾 的最长的上升序列长度。
• 属性：max

前一版本：N≤1000，本题要求：N≤100000

N的数据范围大了100倍,前一版本动态规划代码的时间复杂度是O(N^2),1000^2=1000000，是1e6，是可以1秒过的，但如果是100000^2=10000000000,是1e10，超时，需要要优化~

2、贪心+二分算法

核心思想: 对于同样长度的子串，希望它的末端越小越好，这样后面有更多机会拓展它,才有可能使得数列更长。

状态表示：

• 集合：f[i]表示长度为i的递增子序列中，末尾元素最小的是f[i]
• 属性：min

算法步骤

• 扫描每个原序列中的数字:

  • 如果f中的最后一个数字f[idx]小于当前数字a[i]，那么就在f的最后面增加a[i]

  • 如果a[i]小于f[idx],在f中查找并替换第一个大于等于它元素

举栗子模拟

arr	3	1	2	1	8	5	6

开始时f[]为空，数字3进入序列

arr	3	1	2	1	8	5	6

f	3

1 比 3 小, 3出序列 ，1入序列

arr	3	1	2	1	8	5	6

f	1

2 比 1 大,2入序列

arr	3	1	2	1	8	5	6

f	1	2

1 比 2 小,在f中找到第一个大于等于1的位置，并替换掉原来的数字

arr	3	1	2	1	8	5	6

f	1	2

8 比 2 大

arr	3	1	2	1	8	5	6

f	1	2	8

5 比 8 小,在f中找到第一个大于等于5的数字，并替换掉原来的数字

arr	3	1	2	1	8	5	6

f	1	2	5

6 比 5 大

arr	3	1	2	1	8	5	6

f	1	2	5	6

f 的长度idx就是最长递增子序列的长度

3、时间复杂度

\large O(N*logN)

四、实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 100010;

int n, a[N];

// 数组模拟栈
int f[N], fl;

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];

    // 1、首个元素入栈
    f[0] = a[0];

    // 2、后续元素开始计算
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (a[i] > f[fl])
            f[++fl] = a[i];
        else
            // 利用STL的二分，在f中查找第一个大于等于a[i]的值，并完成替换
            *lower_bound(f, f + fl, a[i]) = a[i];
    }
    // 栈内元素数量就是答案
    printf("%d\n", fl + 1);
    return 0;
}