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##AcWing 1017. 怪盗基德的滑翔翼

零、前导知识

AcWing 895. 最长上升子序列

AcWing 896. 最长上升子序列 II

一、题目描述

怪盗基德是一个充满传奇色彩的怪盗，专门以珠宝为目标的超级盗窃犯。

而他最为突出的地方，就是他每次都能逃脱中村警部的重重围堵，而这也很大程度上是多亏了他随身携带的便于操作的滑翔翼。

有一天，怪盗基德像往常一样偷走了一颗珍贵的钻石，不料却被柯南小朋友识破了伪装，而他的滑翔翼的动力装置也被柯南踢出的足球破坏了。

不得已，怪盗基德只能操作受损的滑翔翼逃脱。

假设城市中一共有N幢建筑排成一条线，每幢建筑的高度各不相同。

初始时，怪盗基德可以在任何一幢建筑的顶端。

他可以选择一个方向逃跑，但是不能中途改变方向（因为中森警部会在后面追击）。

因为滑翔翼动力装置受损，他只能往下滑行（即：只能从较高的建筑滑翔到较低的建筑）。

他希望尽可能多经过不同建筑的顶部，这样可以减缓下降时的冲击力，减少受伤的可能性。

请问，他最多可以经过多少幢不同建筑的顶部(包含初始时的建筑)？

输入格式

输入数据第一行是一个整数K，代表有K组测试数据。

每组测试数据包含两行：第一行是一个整数N，代表有N幢建筑。第二行包含N个不同的整数，每一个对应一幢建筑的高度h，按照建筑的排列顺序给出。

输出格式

对于每一组测试数据，输出一行，包含一个整数，代表怪盗基德最多可以经过的建筑数量。数据范围

1≤K≤100,1≤N≤100,0<h<10000

输入样例：

3
8
300 207 155 299 298 170 158 65
8
65 158 170 298 299 155 207 300
10
2 1 3 4 5 6 7 8 9 10

输出样例：

6
6
9

二、题目分析

题目要求：最多可以经过多少幢不同建筑的顶部(包含初始时的建筑)？这些建筑的高度必须是单调递减的。

从中间某个位置向两边递减高度，也就是中间最高，两边低，可以转化为从两边向中间走，单调递增，即LIS最长上升子序列问题。

并且题目中明确：假设城市中一共有N幢建筑排成一条线，每幢建筑的高度各不相同。如此，就是一个严格上升子序列问题，可以在判断是不用写等号了。

三、题目总结

从左到右，求一遍最长上升子序列LIS问题。
从右到左，求一遍最长上升子序列LIS问题。
两次结果取最大值即可。

四、朴素`O(N^2)`版本

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 110;
int n;    // 楼房的个数
int w[N]; // 楼房的高度数组
int f[N]; // LIS结果数组，DP结果

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        // 保持好习惯，多组测试数据，记得每次清空结果数组
        memset(f, 0, sizeof f);
        int res = 0;

        cin >> n;
        for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i];

        // 从左到右,求一遍最长上升子序列[朴素O(N^2)版本]
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            f[i] = 1;
            for (int j = 1; j < i; j++)
                if (w[i] > w[j]) f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
            res = max(res, f[i]);
        }

        // 反向求解 LIS问题
        for (int i = n; i >= 1; i--) {
            f[i] = 1;
            for (int j = n; j > i; j--)
                if (w[i] > w[j]) f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
            res = max(res, f[i]);
        }

        printf("%d\n", res);
    }
    return 0;
}

四、贪心+二分优化版本(`O(NlogN)`)版本

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 110;
int n;    // 楼房的个数
int a[N]; // 楼房的高度数组

// 数组模拟栈
int f[N], fl;
int g[N], gl;
int res;

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        // 保持好习惯，多组测试数据，记得每次清空结果数组
        memset(f, 0, sizeof f);
        memset(g, 0, sizeof g);
        fl = 0, gl = 0;

        cin >> n;
        for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];

        // 正着求
        f[++fl] = a[1];
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            if (a[i] > f[fl])
                f[++fl] = a[i];
            else
                *lower_bound(f + 1, f + 1 + fl, a[i]) = a[i];
        }

        // 前半程的结果
        res = fl;

        // 反着求
        g[++gl] = a[n];
        for (int i = n - 1; i >= 1; i--) {
            if (a[i] > g[gl])
                g[++gl] = a[i];
            else
                *lower_bound(g + 1, g + 1 + gl, a[i]) = a[i];
        }
        // pk的最大结果
        res = max(res, gl);
        // 输出
        printf("%d\n", res);
    }
    return 0;
}

五、相关资源

最长上升子序列 (LIS) 详解+例题模板 (全)

###　六、经验总结

LIS序列不唯一,LIS长度唯一

举的栗子来讲，给出序列 ( 1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，易得最长上升子序列长度为4,这是确定的，但序列可以为 (1, 3, 5, 8), 也可以为 (1, 3, 5, 9)。

七、疑问

都排在一条直线了，遇到某个比自己高的，滑翔翼也飞不过去啊，这提供出来的LIS长度似乎无法成为侠盗基德的理论依据啊，他要是按这个数来跑，估计会卡在某个建筑上方，剩下的就哭吧，这道题的描述有问题，应该修改为 可以在遇到比自己高的建筑时，绕到更矮的建筑上 才合理。

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