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##[$AcWing$ $883$. 高斯消元解线性方程组](https://www.acwing.com/problem/content/885/)
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### 一、题目描述
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输入一个包含 $n$ 个方程 $n$ 个未知数的线性方程组。
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方程组中的系数为实数。
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求解这个方程组。
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下图为一个包含 $m$ 个方程 $n$ 个未知数的线性方程组示例：
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<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2019/06/27/19_b30080c698-9a504fc2d5628535be9dcb5f90ef76c6a7ef634a.gif'></center>
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**输入格式**
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第一行包含整数 $n$。
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接下来 $n$ 行，每行包含 $n+1$ 个实数，表示一个方程的 $n$ 个系数以及等号右侧的常数。
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**输出格式**
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如果给定线性方程组存在唯一解，则输出共 $n$ 行，其中第 $i$ 行输出第 $i$ 个未知数的解，结果保留两位小数。
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如果给定线性方程组存在无数解，则输出 `Infinite group solutions`。
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如果给定线性方程组无解，则输出 `No solution`。
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**数据范围**
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$1≤n≤100$,所有输入系数以及常数均保留两位小数，绝对值均不超过 $100$。
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**输入样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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3
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1.00 2.00 -1.00 -6.00
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2.00 1.00 -3.00 -9.00
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-1.00 -1.00 2.00 7.00
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```
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**输出样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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1.00
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-2.00
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3.00
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```
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### 二、线性方程组知识
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<center><img src='https://img-blog.csdnimg.cn/20210101213140828.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzMzOTU3NjAz,size_16,color_FFFFFF,t_70'></center>
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### 三、高斯消元法
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求解线性方程组的办法，是高斯消元法:
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- 通过一系列的加减消元，得到类似 $kx=b$ 的式子，**求得最后一个未知量的结果**
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- 然后逐一回代求解 **整个** $x$ 向量
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以下列方程为例：
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<center><img src='https://img-blog.csdnimg.cn/20210101222034134.png'></center>
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第一次加减消元，用第$1$式子消去后面所有的$x$得到：
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<font color='red' size=3><b>方法：第$①$式左右两边除以$2$,然后左右两边乘以$②,③$式中$x$的系数,再分别加(减)到$②,③$式中,我称之为系数清零消元法</b></font>
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<center><img src='https://img-blog.csdnimg.cn/20210101222126837.png'></center>
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第二次加减消元，用第$2$个式子消去后面所有的$y$得到：
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<center><img src='https://img-blog.csdnimg.cn/20210101222155464.png'></center>
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这样就完成了高斯消元的步骤$1$，形成了一个倒三角形的形状，接下来逐一回代即可。
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#### 用矩阵表示高斯消元
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（1）消元过程：
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<center><img src='https://img-blog.csdnimg.cn/20210101222532792.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzMzOTU3NjAz,size_16,color_FFFFFF,t_70'></center>
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（2）**无解**： 当消元完毕后，发现有一行系数都为 $0$，但是常数项不为 $0$，此时无解
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<center><img src='https://img-blog.csdnimg.cn/20210101222621561.png'></center>
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（3）**多解**： 当消元完毕后，发现有多行系数、常数项均为 $0$，此时多解，有几行为全为 $0$，就有几个自由元，即变量的值可以任取，有无数种情况可以满足给出的方程组
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<center><img src='https://img-blog.csdnimg.cn/20210101222735259.png'></center>
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此时自由元为$2$个
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#### 常见问题
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**问题一: 为什么化简为 $1$的操作，和清零的操作都要倒着推?**
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<center><img src='https://img-blog.csdnimg.cn/20210529170727201.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2JldHRsZV9raW5n,size_16,color_FFFFFF,t_70'></center>
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当然也可以正着推，**不过要用一个变量来记录一下开头的元素的值**。化简都除以这个值就行了,不过有点麻烦，倒着推时要以省一个变量~
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**问题二：`if (abs(a[t][c]) < eps) continue;`如何理解?**
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> 假设 $c$表示列，$r$表示行，此时我们进行到了 $c=2$ $r=2$
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```cpp {.line-numbers}
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1 0 2 3
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0 0 3 2
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0 0 2 3
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```
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你会发现此时$r$行之下 的$c$列的绝对值最大值就是$0$.
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说明此时的第$c$列已经化简好了，那么不需要再进行后面的化简操作，
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但是此时第$r$行不用变，此时$c$加$1$ 就接着从 **第二行** **第三列** 开始找绝对值最大的数。
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如果我们的$r$向后移动了，那么此时我们的第$2$行是没有化简的，这显然是不对的。
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以此为例，$r$如果向后移动了，此时$r=3,c=3$但是此时我们的 **第二行** **第三列** 是 $3$ 并不是$1$这种最简的形态。
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**问题三：倒着推解是如何来的**
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<center><img src='https://img-blog.csdnimg.cn/20210529171526712.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2JldHRsZV9raW5n,size_16,color_FFFFFF,t_70'></center>
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当有唯一解的时候，我们最后的化简一定是这种。
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解的最终形式，如下所示:
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<center><img src='https://img-blog.csdnimg.cn/20210529171810354.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2JldHRsZV9raW5n,size_16,color_FFFFFF,t_70'></center>
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我们倒着将每一行都简成每一行只有一个$1$ 的形式。 这里模拟一下，代码就懂了。
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### 5、手绘流程
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<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2020/10/20/42785_6e4a478212-2AC12ACC19AF7566CEB46399BCF82BFC.jpg'></center>
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#### $Code$ 下标从$1$开始 【推荐】
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 110;
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const double eps = 1e-8; // 小数的精度值
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int n; // n个方程
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double a[N][N]; // 系数+结果矩阵
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int gauss() { // 高斯消元，答案存于a[i][n]中，0 <= i < n
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int r = 1; // 先按行后按列进行计算，当前行是第1行
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for (int c = 1; c <= n; c++) { // 枚举每一列
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int t = r; // 防破坏r,复制出t
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for (int i = r; i <= n; i++) // 当前行需要找它的后续行
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if (abs(a[i][c]) > abs(a[t][c])) t = i; // t的任务是找出c列中系数最大值是哪一行
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|
if (abs(a[t][c]) < eps) continue; // 如果c列绝对值最大的系数是0, 那么处理下一列
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|
for (int i = c; i <= n + 1; i++) swap(a[t][i], a[r][i]); // 将绝对值最大的行与当前行交换
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for (int i = n + 1; i >= c; i--) a[r][i] /= a[r][c]; // a[r][c]:行首系数，将当前行的行首通过除法变为1,倒序
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|
for (int i = r + 1; i <= n; i++) // 用当前行r的c列，通过减法将后续行c列消成0
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for (int j = n + 1; j >= c; j--) // 倒序,需要保留行首，逻辑和上面是一样的，行首值是变更系数，如果正序就把系数变成1了，后面就不对了
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|
a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c]; // a[i][c]:需要变化的乘法系数，减法：对位相消
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r++; // 下一行
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}
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if (r <= n) { // 如果没有成功执行完所有行，意味着中间存在continue,也就是某一列的系数都是0
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for (int i = r; i <= n; i++)
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if (abs(a[i][n + 1]) > eps) return 0; // 系数是0，但结果不是0，无解
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return 2; // 系数是0，结果也是0，x取啥都对，有无穷多组解
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}
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// 代回求每个变量值
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for (int i = n - 1; i; i--) // 行,倒序
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for (int j = i + 1; j <= n; j++) // 列,倒三角,右上角应该都是0,对角线全是1
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a[i][n + 1] -= a[i][j] * a[j][n + 1]; // 系数消为0
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return 1; // 有唯一解
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}
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int main() {
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cin >> n;
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for (int i = 1; i <= n; i++) // n个方程
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for (int j = 1; j <= n + 1; j++) // 每行n+1个数据，因为最后一列是等号右侧值
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cin >> a[i][j];
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int t = gauss();
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if (t == 0)
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puts("No solution");
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else if (t == 2)
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puts("Infinite group solutions");
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else
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for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%.2lf\n", a[i][n + 1]); // 保留两位小数
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return 0;
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}
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```
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#### $Code$ 下标从$0$开始【不推荐】
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 110;
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const double eps = 1e-8; // 小数的精度值
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int n; // n个方程
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double a[N][N]; // 系数+结果矩阵
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int gauss() { // 高斯消元，答案存于a[i][n]中，0 <= i < n
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int r = 0; // 先按行后按列进行计算，当前行是第1行
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for (int c = 0; c < n; c++) { // 枚举每一列
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int t = r; // 防破坏r,复制出t
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for (int i = r; i < n; i++) // 当前行需要找它的后续行
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if (abs(a[i][c]) > abs(a[t][c])) t = i; // t的任务是找出c列中系数最大值是哪一行
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if (abs(a[t][c]) < eps) continue; // 如果c列绝对值最大的系数是0, 那么处理下一列
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for (int i = c; i <= n; i++) swap(a[t][i], a[r][i]); // 将绝对值最大的行与当前行交换
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for (int i = n; i >= c; i--) a[r][i] /= a[r][c]; // a[r][c]:行首系数，将当前行的行首通过除法变为1,倒序
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for (int i = r + 1; i < n; i++) // 用当前行r的c列，通过减法将后续行c列消成0
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for (int j = n; j >= c; j--) // 倒序,需要保留行首，逻辑和上面是一样的，行首值是变更系数，如果正序就把系数变成1了，后面就不对了
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a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c]; // a[i][c]:需要变化的乘法系数，减法：对位相消
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r++; // 下一行
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}
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if (r < n) { // 如果没有成功执行完所有行，意味着中间存在continue,也就是某一列的系数都是0
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for (int i = r; i < n; i++)
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if (abs(a[i][n]) > eps) return 0; // 系数是0，但结果不是0，无解
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return 2; // 系数是0，结果也是0，x取啥都对，有无穷多组解
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}
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// 代回求每个变量值
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for (int i = n - 2; i >= 0; i--) // 行,倒序
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for (int j = i + 1; j < n; j++) // 列,倒三角,右上角应该都是0,对角线全是1
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a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n]; // 系数消为0
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return 1; // 有唯一解
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}
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int main() {
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cin >> n;
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for (int i = 0; i < n; i++) // n个方程
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for (int j = 0; j <= n; j++) // 每行n+1个数据，因为最后一列是等号右侧值
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cin >> a[i][j];
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int t = gauss();
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if (t == 0)
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puts("No solution");
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else if (t == 2)
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puts("Infinite group solutions");
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else
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for (int i = 0; i < n; i++) printf("%.2lf\n", a[i][n]); // 保留两位小数
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return 0;
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}
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```
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### 五. 经验教训
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练习题：**[$P3389$ 【模板】高斯消元法](https://www.luogu.com.cn/problem/P3389)**
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1、一定要复制题目中输出的字符串，我就是因为`No Solution` -> `No solution`挂了第一个点
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2、$Luogu$的模板题中，没有强制区分无解和无穷多组解。
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 110;
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const double eps = 1e-8; // 小数的精度值
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int n; // n个方程
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double a[N][N]; // 系数+结果矩阵
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int gauss() { // 高斯消元，答案存于a[i][n]中，0 <= i < n
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int r = 1; // 先按行后按列进行计算，当前行是第1行
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for (int c = 1; c <= n; c++) { // 枚举每一列
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int t = r; // 防破坏r,复制出t
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for (int i = r; i <= n; i++) // 当前行需要找它的后续行
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if (abs(a[i][c]) > abs(a[t][c])) t = i; // t的任务是找出c列中系数最大值是哪一行
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if (abs(a[t][c]) < eps) continue; // 如果c列绝对值最大的系数是0, 那么处理下一列
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for (int i = c; i <= n + 1; i++) swap(a[t][i], a[r][i]); // 将绝对值最大的行与当前行交换
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for (int i = n + 1; i >= c; i--) a[r][i] /= a[r][c]; // a[r][c]:行首系数，将当前行的行首通过除法变为1,倒序
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|
for (int i = r + 1; i <= n; i++) // 用当前行r的c列，通过减法将后续行c列消成0
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|
for (int j = n + 1; j >= c; j--) // 倒序,需要保留行首，逻辑和上面是一样的，行首值是变更系数，如果正序就把系数变成1了，后面就不对了
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|
a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c]; // a[i][c]:需要变化的乘法系数，减法：对位相消
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r++; // 下一行
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}
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|
if (r <= n) { // 如果没有成功执行完所有行，意味着中间存在continue,也就是某一列的系数都是0
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for (int i = r; i <= n; i++)
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|
|
if (abs(a[i][n + 1]) > eps) return 0; // 系数是0，但结果不是0，无解
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|
return 2; // 系数是0，结果也是0，x取啥都对，有无穷多组解
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|
}
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// 代回求每个变量值
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|
for (int i = n - 1; i; i--) // 行,倒序
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for (int j = i + 1; j <= n; j++) // 列,倒三角,右上角应该都是0,对角线全是1
|
|
|
a[i][n + 1] -= a[i][j] * a[j][n + 1]; // 系数消为0
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return 1; // 有唯一解
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}
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int main() {
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cin >> n;
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for (int i = 1; i <= n; i++) // n个方程
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|
for (int j = 1; j <= n + 1; j++) // 每行n+1个数据，因为最后一列是等号右侧值
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cin >> a[i][j];
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int t = gauss();
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if (t == 0 || t==2)
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|
puts("No Solution");
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|
else
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|
for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%.2lf\n", a[i][n + 1]); // 保留两位小数
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|
return 0;
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|
|
}
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