|
|
## [$AcWing$ $854$. $floyd$ 求最短路](https://www.acwing.com/problem/content/description/856/)
|
|
|
|
|
|
### 一、题目描述
|
|
|
给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
|
|
|
|
|
|
再给定 $k$ 个询问，每个询问包含两个整数 $x$ 和 $y$，表示查询从点 $x$ 到点 $y$的最短距离，如果路径不存在，则输出 `impossible`。
|
|
|
|
|
|
数据保证图中不存在负权回路。
|
|
|
|
|
|
**输入格式**
|
|
|
第一行包含三个整数 $n,m,k$。
|
|
|
|
|
|
接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $x,y,z$，表示存在一条从点 $x$ 到点 $y$ 的有向边，边长为 $z$。
|
|
|
|
|
|
接下来 $k$ 行，每行包含两个整数 $x,y$，表示询问点 $x$ 到点 $y$ 的最短距离。
|
|
|
|
|
|
**输出格式**
|
|
|
共 $k$ 行，每行输出一个整数，表示询问的结果，若询问两点间不存在路径，则输出 `impossible`。
|
|
|
|
|
|
**数据范围**
|
|
|
$1≤n≤200,1≤k≤n^2,1≤m≤20000$,
|
|
|
图中涉及边长绝对值均不超过 $10000$。
|
|
|
|
|
|
**输入样例：**
|
|
|
```cpp {.line-numbers}
|
|
|
3 3 2
|
|
|
1 2 1
|
|
|
2 3 2
|
|
|
1 3 1
|
|
|
2 1
|
|
|
1 3
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
**输出样例：**
|
|
|
```cpp {.line-numbers}
|
|
|
impossible
|
|
|
1
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
### 二、理解和感悟
|
|
|
|
|
|
1. $Floyd$可以求**多源最短路径**，这是其它算法做不到的。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. $Floyd$**可以处理负权边，但不能处理负权回路**。
|
|
|
|
|
|
3. 核心就是初始化+三重循环，注意顺序是$k-i-j$，不能反了！$Floyd$是有**动态规划**思想的算法。
|
|
|
|
|
|
**原理解析**：
|
|
|
$f[k][i][j]$表示$i$和$j$之间可以通过编号为$1..k$的节点的最短路径
|
|
|
初值$f[0][i][j]$为原图的邻接矩阵
|
|
|
|
|
|
* $i$到$j$不经过$k$这个节点: $f[k][i][j]$可以从$f[k-1][i][j]$转移
|
|
|
* $i$到$j$经过$k$这个节点: 从$f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j]$转移
|
|
|
|
|
|
即$f[k][i][j]=min(f[k-1][i][j],f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j])$
|
|
|
|
|
|
**然后你就会发现最外层一维空间可以省略，因为$f[k]$只$f[k-1]$与有关。**
|
|
|
|
|
|
**总结**：
|
|
|
一句话，$Floyd$算法的本质是$DP$，而$k$**是$DP$的阶段，因此要写最外面**。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### 三、实现代码
|
|
|
```cpp {.line-numbers}
|
|
|
#include <bits/stdc++.h>
|
|
|
|
|
|
using namespace std;
|
|
|
const int N = 210;
|
|
|
const int INF = 0x3f3f3f3f;
|
|
|
|
|
|
int n, m, k;
|
|
|
int d[N][N];
|
|
|
|
|
|
// 算法结束后，d[a][b]表示a到b的最短距离
|
|
|
void floyd() {
|
|
|
for (int k = 1; k <= n; k++)
|
|
|
for (int i = 1; i <= n; i++)
|
|
|
for (int j = 1; j <= n; j++)
|
|
|
d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
int main() {
|
|
|
cin >> n >> m >> k;
|
|
|
// floyd初始化
|
|
|
memset(d, 0x3f, sizeof d); // 任意两点间距离正无穷
|
|
|
for (int i = 0; i < N; i++) d[i][i] = 0; // 自己和自己是距离为0的
|
|
|
// 读入数据
|
|
|
while (m--) {
|
|
|
int a, b, c;
|
|
|
cin >> a >> b >> c;
|
|
|
d[a][b] = min(d[a][b], c); // 保留最短边.(可能有重边，保留最短边)
|
|
|
}
|
|
|
// 调用floyd
|
|
|
floyd();
|
|
|
|
|
|
// 处理所有询问
|
|
|
while (k--) {
|
|
|
int a, b;
|
|
|
cin >> a >> b;
|
|
|
// 由于有负权边存在所以约大过INF/2也很合理
|
|
|
if (d[a][b] > INF / 2)
|
|
|
puts("impossible");
|
|
|
else
|
|
|
printf("%d\n", d[a][b]);
|
|
|
}
|
|
|
return 0;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
