|
|
##[$AcWing$ $874.$ 筛法求欧拉函数](https://www.acwing.com/problem/content/876/)
|
|
|
|
|
|
### 一、题目描述
|
|
|
|
|
|
给定一个正整数 $n$，求 $1∼n$ 中每个数的欧拉函数之和。
|
|
|
|
|
|
**输入格式**
|
|
|
共一行，包含一个整数 $n$。
|
|
|
|
|
|
**输出格式**
|
|
|
共一行，包含一个整数，表示 $1∼n$ 中每个数的欧拉函数之和。
|
|
|
|
|
|
**数据范围**
|
|
|
$1≤n≤10^6$
|
|
|
|
|
|
**输入样例：**
|
|
|
```cpp {.line-numbers}
|
|
|
6
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
**输出样例：**
|
|
|
```cpp {.line-numbers}
|
|
|
12
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### 二、线性筛法求欧拉函数
|
|
|
|
|
|
依托于线性筛法，可以顺带求出欧拉函数值。
|
|
|
|
|
|
#### ($1$) $phi[1]=1$,$φ(1)$被 **定义** 为$1$
|
|
|
|
|
|
对区间内每个数进行分情况讨论：
|
|
|
|
|
|
#### ($2$) 质数
|
|
|
质数$i$的欧拉函数值$phi[i]=i-1$
|
|
|
比如$7$，那么$1-6$当中有多少个数与$7$互质呢？显然$6$个都是嘛。
|
|
|
|
|
|
#### ($3$) 非质数
|
|
|
数字$i$在被$primes[j]$尝试筛的过程中：
|
|
|
(设 $p_j=primes[j]$,简便下面的书写)
|
|
|
|
|
|
<font color='red'>如果$i\ \% \ p_j = 0$, 那么 $phi[i * p_j] = phi[i] * p_j$</font>
|
|
|
|
|
|
**证明**：
|
|
|
$\because$ $i={p_1}^{\alpha_1} * {p_2}^{\alpha_2} * {p_3}^{\alpha_3} * ... *{p_j}^{\alpha_j}*...*{p_k}^{\alpha_k}$ 【算术基本定理】
|
|
|
|
|
|
$phi[i]= i * (1- \frac{1}{p_1}) * (1- \frac{1}{p_2}) * (1- \frac{1}{p_3}) * ... * (1- \frac{1}{p_j}) $ 【欧拉公式】
|
|
|
|
|
|
$p_j*i$分解质数因数的结果，只比$i$多分解了一个$p_j$，而 $i \ \% \ p_j = 0$ 说明$i$中存在$p_j$因子，只不过指数增加了$1$个。
|
|
|
|
|
|
$\therefore$ $p_j * i ={p_1}^{\alpha_1} * {p_2}^{\alpha_2} * {p_3}^{\alpha_3} * ... *{p_j}^{\alpha_j+1}*...*{p_k}^{\alpha_k}$
|
|
|
通过瞪眼大法观察欧拉公式可知，<font color='red'><b>欧拉公式只与质数因子相关，而与质数因子的幂次无关！</b></font> 二者的质数因子没有变化，变化的只是某个质数因子的幂次。所以:
|
|
|
$phi[p_j * i] =p_j * i * (1- \frac{1}{p_1}) * (1- \frac{1}{p_2}) * (1- \frac{1}{p_3}) * ... * (1- \frac{1}{p_j}) = phi[i] * p_j $
|
|
|
|
|
|
**证毕**
|
|
|
|
|
|
<font color='red'>如果$i\ \% \ p_j > 0$, 那么 $phi[i * p_j] = phi[i] * (p_j-1)$ </font>
|
|
|
**证明：**
|
|
|
$\because$ $i={p_1}^{\alpha_1} * {p_2}^{\alpha_2} * {p_3}^{\alpha_3} * ... *{p_k}^{\alpha_k} $ 【算术基本定理】
|
|
|
$phi[i]= i * (1- \frac{1}{p_1}) * (1- \frac{1}{p_2}) * (1- \frac{1}{p_3}) * ... * (1- \frac{1}{p_k})$【欧拉公式】
|
|
|
|
|
|
$p_j*i$分解质数因数的结果，只是比$i$多分解了一个$p_j$，而 $i \ \% \ p_j>0$ 说明$i$中不存在$p_j$这个因子，需要写上去。
|
|
|
|
|
|
$p_j * i ={p_1}^{\alpha_1} * {p_2}^{\alpha_2} * {p_3}^{\alpha_3} * ... * {p_k}^{\alpha_k} * {p_j}^{1} $
|
|
|
|
|
|
$\therefore phi[p_j * i]= p_j * i * (1- \frac{1}{p_1}) * (1- \frac{1}{p_2}) * (1- \frac{1}{p_3}) * ... * (1- \frac{1}{p_k}) * (1- \frac{1}{p_j}) $
|
|
|
|
|
|
$\therefore phi[p_j * i]= p_j * phi[i] * (1 - \frac{1}{p_j}) = phi[i] * ( p_j -1) $
|
|
|
|
|
|
**证毕**
|
|
|
|
|
|
### 三、实现代码
|
|
|
```cpp {.line-numbers}
|
|
|
#include <bits/stdc++.h>
|
|
|
|
|
|
using namespace std;
|
|
|
|
|
|
#define int long long
|
|
|
const int N = 1e6 + 10;
|
|
|
int primes[N];
|
|
|
int cnt;
|
|
|
int phi[N];
|
|
|
int st[N];
|
|
|
int res;
|
|
|
|
|
|
void get_eulers(int n) {
|
|
|
phi[1] = 1;
|
|
|
for (int i = 2; i <= n; i++) {
|
|
|
if (!st[i]) {
|
|
|
primes[cnt++] = i;
|
|
|
phi[i] = i - 1; // ①质数
|
|
|
}
|
|
|
for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++) {
|
|
|
int t = primes[j] * i;
|
|
|
st[t] = 1;
|
|
|
if (i % primes[j] == 0) {
|
|
|
phi[t] = phi[i] * primes[j]; // ② i%pj==0
|
|
|
break;
|
|
|
} else
|
|
|
phi[t] = phi[i] * (primes[j] - 1); // ③i%pj>0
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
signed main() {
|
|
|
int n;
|
|
|
cin >> n;
|
|
|
|
|
|
get_eulers(n);
|
|
|
|
|
|
for (int i = 1; i <= n; i++) res += phi[i];
|
|
|
|
|
|
printf("%lld\n", res);
|
|
|
}
|
|
|
``` |
