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https://blog.csdn.net/CUCUC1/article/details/113706736
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## 最长公共上升子序列($LCIS$)
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### 前置知识
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#### $LCS$
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$$\LARGE f[i][j]= \left\{\begin{matrix}
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f[i-1][j-1]+1& i,j>0,a[i]=b[j] \\
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max(f[i,j-1],f[i-1][j])& i,j>0,a[i]\neq b[j]
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\end{matrix}\right.
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$$
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#### $LIS$
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自行脑补
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注意：
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刚开始看这个问题的时候，第一反应是先求出$LCS$再求出$LCS$的$LIS$，事实上这是有问题的，我们并不能保证这么求出的$LCIS$是最长的,比如下面这个例子:
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> Example
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a:[7 1 5 6 4 2 7]
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b:[7 1 5 4 6 7 2]
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按照递归的取**最长公共子序列**,取出：
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[7 1 5 6 2]
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此序列的**最长上升子序列**为：
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1 5 6 (len=3)
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但原序列的“最长公共上升子序列”为：
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1 5 6 7 (len=4)
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<font color='red' size=4><b>小结：</b></font>
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<font color='blue' size=4><b>证明一个假设是错的很简单，直接找一个反例就行了；证明一个假设是正确的很难，因为你要证明所有情况都是对的。</b></font>
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这道题目是$AcWing$ $895$. 最长上升子序列和$AcWing$ $897$. 最长公共子序列的结合版，在状态表示和状态计算上都是融合了这两道题目的方法。
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状态表示：
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* `f[i][j]`代表所有`a[1 ~ i]`和`b[1 ~ j]`中以`b[j]`结尾的公共上升子序列的集合；
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* `f[i][j]`的值等于该集合的子序列中长度的最大值；
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状态计算（对应集合划分）：
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首先依据公共子序列中是否包含`a[i]`，将`f[i][j]`所代表的集合划分成两个不重不漏的子集：
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* 不包含`a[i]`的子集，最大值是`f[i - 1][j]`；
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* 包含`a[i]`的子集，将这个子集继续划分，依据是子序列的倒数第二个元素在`b[]`中是哪个数：
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* 子序列只包含`b[j]`一个数，长度是`1`；
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* 子序列的倒数第二个数是`b[1]`的集合，最大长度是`f[i - 1][1] + 1`；
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* …
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* 子序列的倒数第二个数是`b[j - 1]`的集合，最大长度是`f[i - 1][j - 1] + 1`；
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如果直接按上述思路实现，需要三重循环：
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```c++
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for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
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for (int j = 1; j <= n; j ++ ){
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f[i][j] = f[i - 1][j];
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if (a[i] == b[j]){
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int maxv = 1;
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for (int k = 1; k < j; k ++ )
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if (a[i] > b[k])
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maxv = max(maxv, f[i - 1][k] + 1);
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f[i][j] = max(f[i][j], maxv);
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}
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}
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}
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```
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然后我们发现每次循环求得的`maxv`是满足`a[i] > b[k]`的`f[i - 1][k] + 1`的前缀最大值。
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因此可以直接将`maxv`提到第一层循环外面，减少重复计算，此时只剩下两重循环。
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最终答案枚举子序列结尾取最大值即可。
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时间复杂度
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代码中一共两重循环，因此时间复杂度是 $O(n2)$。 |
