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`AcWing` `1170` 排队布局

一、题目描述

当排队等候喂食时，奶牛喜欢和它们的朋友站得靠近些。

农夫约翰有 N 头奶牛，编号从 1 到 N，沿一条直线站着等候喂食。

奶牛排在队伍中的顺序和它们的编号是相同的。

因为奶牛相当苗条，所以可能有两头或者更多奶牛站在同一位置上。

如果我们想象奶牛是站在一条数轴上的话，允许有两头或更多奶牛拥有相同的横坐标。

一些奶牛相互间存有好感，它们希望两者之间的距离 不超过 一个给定的数 L。

另一方面，一些奶牛相互间非常反感，它们希望两者间的距离 不小于 一个给定的数 D。

给出 M_L 条关于两头奶牛间有好感的描述，再给出 M_D 条关于两头奶牛间存有反感的描述。

你的工作是：

① 如果不存在满足要求的方案，输出-1
② 如果 1 号奶牛和 N 号奶牛间的距离可以任意大，输出-2
③ 计算出在满足所有要求的情况下，1 号奶牛和 N 号奶牛间可能的 最大距离

输入格式 第一行包含三个整数 N,M_L,M_D。

接下来 M_L 行，每行包含三个正整数 A,B,L，表示奶牛 A 和奶牛 B 至多相隔 L 的距离。

再接下来 M_D 行，每行包含三个正整数 A,B,D，表示奶牛 A 和奶牛 B 至少相隔 D 的距离。

输出格式 输出一个整数，如果不存在满足要求的方案，输出-1；如果 1 号奶牛和 N 号奶牛间的距离可以任意大，输出-2；否则，输出在满足所有要求的情况下，1 号奶牛和 N 号奶牛间可能的 最大距离。

数据范围 2≤N≤1000,1≤M_L,M_D≤10^4,1≤L,D≤10^6

输入样例：

输出样例：

二、题目解析

本题同样是 差分约束 的问题，要求1到n之间可能的 最大距离，这道题使我们更加深刻的理解了差分约束的思想。在AcWing 1169 糖果里，仔细的讲解了差分约束的基本思想，以及 不等式组

求最大解需要求最短路
求最小解需要求最长路

这里不等式解的最大最小都是相对而言的。比如a_2 <= a_1 + 1,a_3 <= a_2 + 1，求最短路和最长路的建图如下图所示：

对于 最短路 而言，设起点a_1 = 0，求得a_2的最大值是1，a_3的最大值是2
对于 最长路 而言，设起点a_3 = 0，求得a_2的最小值是-1，a_1的最小值是-2 所以所谓的最值都是相对的，本题求1到n之间的 最大距离 很能够体现这种相对的关系。

下面梳理下 已知的结论：

① 对于同一个不等式组，最短路和最长路建图是完全不同的，边的大小互为相反数，方向相反
② 如果不等式组无解，即没有合法的一组解使得所有的不等式都成立，那么 建立的最短路图中一定存在负环，建立的最长路的图中一定存在正环。
③ 如果不等式组有解，最短路求得的是最大解，最长路求得的是最小解。

要求1到n之间的距离，不妨设1号点的坐标就是0，从0出发到达终点n，要想距离最大，则n号点的解就要最大，所以需要求 最短路。

当然如果将n的坐标设置为0，也可以通过求最长路来使得1到n之间的距离最大。疑:这句话我没有理解上去，不明白为什么

本题的约束条件有三个，

`a_{i-1} <= a_i`

解释：农夫约翰有 N 头奶牛，编号从 1 到 N，沿一条直线站着等候喂食。

`a_i - a_j <= L`

解释:两者之间的距离 不超过 一个给定的数 L。

`a_i - a_j >= D`

解释:两者间的距离 不小于 一个给定的数 D。

暂且不去分析具体的约束条件，先讨论一个问题，什么情况下起点到终点的距离可以无限大。关于这个问题，很多博客仅仅给出了必要条件，比如说从起点到达不了终点，图中的两点间没有可达的路径，没有约束距离就无限大，但这仅仅是必要条件而非充分条件。比如下面的不等式组：


\large \left\{\begin{matrix}
a_1 <= a_2 - 1 & \\ 
a_2 <= a_3 - 1 & 
\end{matrix}\right.

最短路建图如下：

从a_3是可以到达a_1的，图中没有孤立的点，a_3 = 0时，a_1就可以无限小，他们的距离就无限大。这个简单的例子可以看出，差分约束的不等式组对应的图如果没有环，起点和终点的距离是可以无限大的。

要想两点间距离有限，需要图中有一个适当的环，来约束解的范围。上图的不等式组可以推出a_1 <= a_3 - 2，那么我再加上一个不等式约束a_1 >= a_3 - 4,，就成功的将a_1到a_3之间的距离限制在4个单位以内了。对应图中的表现不过是a_1到a_3连一条边权为4的边，我们分析此时环的长度4 - 1 - 1 = 2是大于0的。所以我们可以得出下面的结论：

① 最短路的图中如果存在负环，差分约束问题无合法解
② 最短路的图中如果存在正环，正环上任意两点间的距离都是有限的
③ 最短路的图中不存在环,图中任意两点间的距离都可以是无限大的

这个结论可以类比到最长路的图中。

换一种表达形式的话就是如果要图中的两点间距离有限，需要存在正环，且这两个点都在环上。

那么本题我们是否需要判断了负环还要判断正环呢？实际上是不需要的。

第一个约束条件a_i >= a_{i-1}，构建的最短路图中a_n可以到达a_{n-1},a_{n-1}可以到达a_{n-2},...。所以a_n可以到达每一点，包括a_1。我们先以a_n为起点，求一遍最短路，如果存在负环，则不等式组无解，如果不存在负环，那么不等式组肯定有解，下面要判断的就是a_n - a_1的结果是否可以无限大。在确定了不等式组有解的情况下，我们以a_1为起点再求一遍最短路，当然a_1不一定能够到达每一点，如果a_1到达不了a_n，说明不存在一个环，环上同时包含a_1到a_n。如果a_1出发可以到达a_n，则一定存在由a_1、a_n构成的正环。从a_1出发可以到达a_n，a_n出发可以到达a_1，这个条件保证了环的存在。第一次以a_n为起点求最短路时不存在负环，说明这个环一定不是负环，那么就是正环了（即使环的长度为0也是有解的）。根据我们上一段推出的结论可知，此时a_1和a_n之间的距离是有限的，并且第二次求最短路过程中a_1是起点，求得的a_n是最大值，所以此时的a_n就是我们要求的最大距离了。

最后再总结下本题给我们的经验:

① 最短路存在负环，差分约束问题无解
② 最短路存在正环，环上任意两点之间距离有限
③ 最短路不存在环，任意两点间距离可以是无穷大

④ 最长路存在正环，差分约束问题无解
⑤ 最长路存在负环，环上任意两点之间距离有限
⑥ 最长路不存在环，任意两点间距离可以是无穷大

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1010, M = 20010, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m1, m2;

int dist[N], cnt[N];
bool st[N];

int h[N], w[M], e[M], ne[M], idx;
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

bool spfa(int sz) {
    // spfa要调用2次，所以每次调用要清空一下st,cnt,dist
    memset(st, 0, sizeof st);
    memset(cnt, 0, sizeof cnt);
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist); // 最短路，初始化为正无穷
    queue<int> q;

    // 前sz个节点入队列
    for (int i = 1; i <= sz; i++) {
        dist[i] = 0;
        q.push(i);
        st[i] = true;
    }

    while (q.size()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        st[u] = false;

        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int v = e[i];
            if (dist[v] > dist[u] + w[i]) { // 最短路
                dist[v] = dist[u] + w[i];
                cnt[v] = cnt[u] + 1;
                if (cnt[v] >= n) return true; // 判负环
                if (!st[v]) {
                    q.push(v);
                    st[v] = true;
                }
            }
        }
    }
    return false;
}

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m1, &m2);
    memset(h, -1, sizeof h);

    while (m1--) {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        // 表示奶牛 A 和奶牛 B 至多相隔 L 的距离。
        // b-a <=c  ==> b < a + c
        add(a, b, c);
    }

    while (m2--) {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        // 表示奶牛 A 和奶牛 B 至少相隔 D 的距离。
        //  b - a >=c => a <= b - c
        add(b, a, -c);
    }

    // 奶牛排在队伍中的顺序和它们的编号是相同的
    for (int i = 1; i < n; i++) add(i + 1, i, 0); // x_{i+1} - x_i >= 0  => x_i <= x_{i+1}

    if (spfa(n))
        puts("-1"); // 从n出发找一下负环,如果负环存在则无解
    else {
        spfa(1); // 如果从1号节点出发，可以成功走到n号节点，则 dist[n]就不会是INF,如果是INF就说明没有走到过 n点。表示在不等式组中不存在 x_n,x_1之间的传递关联关系，即x_n可以随意
        if (dist[n] == INF)
            puts("-2");
        else
            printf("%d\n", dist[n]);
    }
    return 0;
}

10 KiB Raw Blame History Unescape Escape

AcWing 1170 排队布局