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Raw Blame History Unescape Escape

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`LIS`+`LCS`专题

基础题

AcWing 895. 最长上升子序列

O(N^2)算法

状态表示 f[i]:以a[i]结尾的最长上升子序列长度

状态转移

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        f[i] = 1; //只有a[i]一个数
        for (int j = 1; j < i; j++)
            if (a[j] < a[i]) f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
    }

答案

for (int i = 1; i <= n; i++) res = max(res, f[i]);

AcWing 896. 最长上升子序列 II

数据量增大:N<=100000 O(LogN*N)算法

 // 1、首个元素入栈
f[0] = a[0];

// 2、后续元素开始计算
for (int i = 1; i < n; i++) {
    if (a[i] > f[fl])
        f[++fl] = a[i];
    else
        //利用STL的二分，在f中查找第一个大于等于a[i]的值，并完成替换
        *lower_bound(f, f + fl, a[i]) = a[i];
}

也可以这样写

memset(f,-0x3f,sizeof f);
   
// 2、后续元素开始计算
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    if (a[i] > f[fl])
        f[++fl] = a[i];
    else
        //利用STL的二分，在f中查找第一个大于等于a[i]的值，并完成替换
        *lower_bound(f + 1, f + 1 + fl, a[i]) = a[i];
}

很明显，第一种写法性能更高，第二种写法有点暴力。

状态表示 f[i]表示长度为i的递增子序列中，末尾元素最小的是f[i]

答案 fl

状态转移 ① f[]数组是一个单独上升的数组,这是可以二分的基础 ② 每个长度都争取替换掉前面记录数组中第一个大于等于自己的数字，以保证长度不变的情况下，数字最小，因为只有最小才能让后面的其它数字更容易接上去，机会才能更多。

AcWing 897. 最长公共子序列

状态表示 定义f[i][j]是a[]以i结尾，b[]以j结尾的最长公共子序列长度

说明：没有说a[i]或者b[j]一定要出现在最长公共子序列当中！这个最长公共子序列，可能是a[]和b[]的一些前序组成的，a[i],b[j]也可能没有对结果产生贡献。

当a[i]==b[j]时，看一下两个字符串的前序，发现在少了a[i],b[j]后，转化为子问题f[i-1][j-1],问题转化为$f[i][j]=f[i-1][j-1]+1$
当a[i] \neq b[j]时：
- 如果a[i]不产生贡献，那么把它干掉f[i-1][j]
- 如果b[j]不产生贡献，那么把它干掉f[i][j-1]

for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (a[i] == b[j])
                f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1;
            else
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
        }

答案 f[n][m]

进阶题

AcWing 1017. 怪盗基德的滑翔翼 AcWing 1014. 登山 AcWing 482. 合唱队形 AcWing 1012. 友好城市 AcWing 1016. 最大上升子序列和 AcWing 1010. 拦截导弹 AcWing 187. 导弹防御系统 AcWing 272. 最长公共上升子序列

最长上升子序列 (LIS) 详解+例题模板 (全)

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