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AcWing 346 走廊泼水节
一、题目描述
话说，中中带领的
Oier们打算举行一次冬季泼水节，当然这是要秘密进行的，绝对不可以让中中知道。不过中中可是老江湖了，当然很快就发现了我们的小阴谋，于是他准备好水枪迫不及待的想要加入我们了。 我们一共有N个Oier打算参加这个泼水节，同时很凑巧的是正好有N个水龙头(至于为什么，我不解释)。N个水龙头之间正好有N-1条小道，并且每个水龙头都可以经过小道到达其他水龙头(这是一棵树，你应该懂的..)。但是Oier们为了迎接中中的挑战，决定修建一些个道路(至于怎么修，秘密 ~ ),使得每个水龙头到每个水龙头之间都有一条直接的道路连接 ( 也就是构成一个完全图 呗 ~ )。但是Oier们很懒得，并且记性也不好，他们只会去走那N-1条小道，并且希望所有水龙头之间修建的道路，都要 大于 两个水龙头之前连接的所有小道( 小道当然要是最短 的了)。所以神COW们，帮那些Oier们计算一下吧，修建的那些道路总长度 最短 是多少，毕竟修建道路是要破费的~~
二、题目大意
给定一棵 N 个节点的树，要求 增加若干条边，把这棵树扩充为 完全图，并满足图的 唯一 最小生成树 仍然是这棵树。
求增加的边的权值总和最小是多少。
注意： 树中的所有边权均为整数，且新加的所有边权也必须为整数。
输入格式
第一行包含整数 t，表示共有 t 组测试数据。
对于每组测试数据，第一行包含整数 N。
接下来 N−1 行，每行三个整数 X,Y,Z，表示 X 节点与 Y 节点之间存在一条边，长度为 Z。
输出格式 每组数据输出一个整数，表示权值总和最小值。
每个结果占一行。
数据范围
1≤N≤6000
1≤Z≤100
输入样例：
2
3
1 2 2
1 3 3
4
1 2 3
2 3 4
3 4 5
输出样例：
4
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三、题目解析
解释：
(1,4),(1,3),(2,4)共三条边需要连接上，才能构成完全图，(2,3)是不需要连接的，因为它是最小生成树的一部分。
做Kruskal算法，在每循环到一条可以合并两个连通块的边edge时，记edge的边长为c,为了形成一个完全图，就要使得两个已经是完全图的连通块中的点有边，但是为了使最后的唯一最小生成树还是原来那棵而且，新增的边一定要大于c：
-
假设新边小于
c，因为新增边后会成环，当断开边edge，形成的树大小会变小，即不是原来那棵，所以不成立 -
假设新边等于
c，同样的断开edge，会形成一个大小一样但结构不一样的树，不满足唯一，所以也不成立
所以只要在每次新增edge的时候，给两个连通块内的点增加 c+1 长的边即可。
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 6010;
struct Edge {
int a, b, c;
const bool operator<(const Edge &t) const {
return c < t.c;
}
} edge[N];
int n;
int cnt[N]; // 配合并查集使用的，记录家族人员数量
int p[N]; // 并查集
int find(int x) {
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
int main() {
int T;
cin >> T;
while (T--) {
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i, cnt[i] = 1; // 并查集初始化
// 录入n-1条边
int el = n - 1;
for (int i = 0; i < el; i++) {
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
edge[i] = {a, b, c};
}
// 排序
sort(edge, edge + el);
int res = 0;
for (int i = 0; i < el; i++) {
int a = find(edge[i].a), b = find(edge[i].b), c = edge[i].c;
if (a != b) {
// a集合数量，b集合数量，相乘，但需要减去已经建立的最小生成权这条边
// c是最小的，其它的可以建立最小也得大于c,即c+1
res += (cnt[a] * cnt[b] - 1) * (c + 1);
p[a] = b; // 合并到同一集合
cnt[b] += cnt[a]; // b家族人数增加cnt[a]个,并查集数量合并
}
}
// 输出
cout << res << endl;
}
return 0;
}