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##[$AcWing$ $5$. 多重背包问题 II](https://www.acwing.com/problem/content/description/5/)
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### 一、与朴素版本的区别
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区别在于数据范围变大了：现在是三个循环数据上限分别是$1000$(物品种数),$2000$(背包容积),第$i$种物品的体积、价值和数量的上限也是$2000$,原来的每个数字上限都是$100$！
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三重循环的话，计算次数就是 $1000 * 2000 * 2000=4000000000=4 * 1e9 =40$亿次
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$C++$一秒可以算$1e8$次，就是$1$亿次，$40$亿肯定会超时!
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### 二、二进制优化
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朴素多重背包做法的本质：将有数量限制的相同物品看成多个不同的$0-1$背包。
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<font color='blue' size=4><b>优化思路：</b></font>
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比如我们从一个货车搬百事可乐的易拉罐（因为我爱喝不健康的快乐水~），如果存在$200$个易拉罐，小超市本次要的数量为一个小于$200$的数字$n$,搬的策略是什么呢？
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$A$、一个一个搬，直到$n$为止。
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$B$、在出厂前打成$1$个一箱，$2$个一箱，$4$个一箱，$8$个一箱，$16$个一箱，$32$个一箱，$64$个一箱,乘下$73$个，不够下一轮的$128$个了,<font color='red'><b>该怎么办呢？剩下的打成$73$个一箱!</b></font>
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>为什么要把剩下的$73$个打成一个包呢？不是再分解成$64$,$32$这样的组合呢？这是因为本质是化解为$01$背包，一来这么分解速度最快，二来可以表示原来数量的任何子集。
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### 三、一维实现代码 <font color='red' size=4><b>【推荐】</b></font>
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1010; // 个数上限
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const int M = 2010; // 体积上限
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int n, m, idx;
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int f[M];
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/*
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Q:为什么是N*12?
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A:本题中v_i<=2000,因为c数组是装的打包后的物品集合，每类物品按二进制思想，2000最多可以打log2(2000)+1个包，即 10.96578+1=12个足够,
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同时，共N类物品，所以最大值是N*12。
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如果题目要求v_i<=INT_MAX,那么就是log2(INT_MAX)=31,开31个足够,因为31是准确的数字，不需要再上取整。
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为保险起见，可以不用计算数组上限，直接N*32搞定！
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*/
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struct Node {
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int w, v;
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} c[N * 12];
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int main() {
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cin >> n >> m;
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// 多重背包的经典二进制打包办法
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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int v, w, s;
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cin >> v >> w >> s;
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for (int j = 1; j <= s; j *= 2) { // 1,2,4,8,16,32,64,128,...打包
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c[++idx] = {j * w, j * v};
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s -= j;
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}
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// 不够下一个2^n时，独立成包
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if (s) c[++idx] = {s * w, s * v};
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}
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// 按01背包跑
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for (int i = 1; i <= idx; i++)
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for (int j = m; j >= c[i].v; j--) // 倒序
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f[j] = max(f[j], f[j - c[i].v] + c[i].w);
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// 输出
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printf("%d\n", f[m]);
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return 0;
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}
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```
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### 四、二维+滚动数组代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1010; // 个数上限
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const int M = 2010; // 体积上限
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int n, m, idx;
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// 无法使用二维数组，原因是因为分拆后N*31*M=31*1010*2010太大了，MLE了
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// 所以，需要使用滚动数组进行优化一下，思想还是二维的
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int f[2][M];
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struct Node {
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int w, v;
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} c[N * 31];
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int main() {
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cin >> n >> m;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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int v, w, s;
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cin >> v >> w >> s;
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for (int j = 1; j <= s; j *= 2) { // 1,2,4,8,16,32,64,128,...打包
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c[++idx] = {j * w, j * v};
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s -= j;
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}
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// 不够下一个2^n时，独立成包
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if (s) c[++idx] = {s * w, s * v};
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}
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// 按01背包跑就可以啦
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for (int i = 1; i <= idx; i++)
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for (int j = 1; j <= m; j++) {
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f[i & 1][j] = f[i - 1 & 1][j];
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if (j >= c[i].v)
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f[i & 1][j] = max(f[i & 1][j], f[i - 1 & 1][j - c[i].v] + c[i].w);
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}
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// 输出
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printf("%d\n", f[idx & 1][m]);
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return 0;
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}
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``` |
