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AcWing 346 走廊泼水节

一、题目大意

给定一棵 N 个节点的树，要求 增加若干条边，把这棵树扩充为 完全图，并满足图的 唯一 最小生成树 仍然是这棵树。

求增加的边的权值总和最小是多少。

注意： 树中的所有边权均为整数，且新加的所有边权也必须为整数。

输入格式 第一行包含整数 t，表示共有 t 组测试数据。

对于每组测试数据，第一行包含整数 N。

接下来 N−1 行，每行三个整数 X,Y,Z，表示 X 节点与 Y 节点之间存在一条边，长度为 Z。

输出格式 每组数据输出一个整数，表示权值总和最小值。

每个结果占一行。

数据范围 1≤N≤6000

1≤Z≤100

输入样例：

2
3
1 2 2
1 3 3
4
1 2 3
2 3 4
3 4 5 

输出样例：

4
17 

二、题目解析

解释：(1,4),(1,3),(2,4)共三条边需要连接上，才能构成完全图，(2,3)是不需要连接的，因为它是最小生成树的一部分。

做Kruskal算法，在每循环到一条可以合并两个连通块的边edge时，记edge的边长为c,为了形成一个完全图，就要使得两个已经是完全图的连通块中的点有边，但是为了使最后的唯一最小生成树还是原来那棵而且，新增的边一定要大于c：

• 假设新边小于c，因为新增边后会成环，当断开边edge，形成的树大小会变小，即不是原来那棵，所以不成立

• 假设新边等于c，同样的断开edge，会形成一个大小一样但结构不一样的树，不满足唯一，所以也不成立

所以只要在每次新增edge的时候，给两个连通块内的点增加 c+1 长的边即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 6010;

struct Edge {
    int a, b, w;
    const bool operator<(const Edge &t) const {
        return w < t.w;
    }
} e[N];

int n;
int cnt[N]; // 配合并查集使用的，记录家族人员数量
int p[N];   // 并查集
int find(int x) {
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n;
        for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i, cnt[i] = 1;

        int el = n - 1;
        // 录入n-1条边
        for (int i = 0; i < el; i++) {
            int a, b, c;
            cin >> a >> b >> c;
            e[i] = {a, b, c};
        }
        // 排序
        sort(e, e + el);

        int res = 0;
        for (int i = 0; i < el; i++) {
            auto x = e[i];
            int a = find(x.a), b = find(x.b), w = x.w;
            if (a != b) {
                // a集合数量，b集合数量，相乘，但需要减去已经建立的最小生成权这条边
                // w是最小的，其它的可以建立最小也得大于w,即w+1
                res += (cnt[a] * cnt[b] - 1) * (w + 1);
                p[a] = b;         // 合并到同一集合
                cnt[b] += cnt[a]; // b家族人数增加cnt[a]个,并查集数量合并
            }
        }
        // 输出
        printf("%d\n", res);
    }
    return 0;
}