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##[$AcWing$ $878$. 线性同余方程](https://www.acwing.com/problem/content/description/880/)
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### 一、题目描述
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给定 $n$ 组数据 $a_i,b_i,m_i$，对于每组数求出一个 $x_i$，使其满足 $a_i×x_i≡b_i(mod \ m_i)$，如果无解则输出 `impossible`。
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**输入格式**
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第一行包含整数 $n$。
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接下来 $n$ 行，每行包含一组数据 $a_i,b_i,m_i$。
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**输出格式**
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输出共 $n$ 行，每组数据输出一个整数表示一个满足条件的 $x_i$，如果无解则输出 `impossible`。
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每组数据结果占一行，结果可能不唯一，输出任意一个满足条件的结果均可。
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输出答案必须在 $int$ 范围之内。
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**数据范围**
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$1≤n≤10^5,1≤a_i,b_i,mi≤2×10^9$
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**输入样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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2
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2 3 6
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4 3 5
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```
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**输出样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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impossible
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-3
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```
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### 二、线性同余方程
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**【扩展欧几里得算法的一个典型应用】**
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$ax\equiv\ b(mod\ m)$
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**举个栗子**：
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$2x \equiv 3 (mod\ 6)$
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$x=1,2x=2,2\%6=2$
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$x=2,2x=4,4\%6=4$
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$x=3,2x=6,6\%6=0$
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$x=4,2x=8,8\%6=2$
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$x=5,2x=10,10\%6=4$
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$x=6,2x=12,12\%6=0$
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...
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<font color='red' size=4><b>余数开始循环了，一直都是$2,4,0$...</b></font>
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不会产生$3$这个余数，所以，无解。
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**再来一个栗子：**
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$4x\equiv\ 3 (mod\ 5)$
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$x=1,4x=4, 4\%5 =4$
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<font color='red'>$x=2,4x=8, 8\%5 =3$</font>
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$x=3,4x=12, 12\%5 =2$
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$x=4,4x=16, 16\%5 =1$
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$x=5,4x=20, 20\%5 =0$
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$x=6,4x=24, 24\%5 =4$
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<font color='red'>$x=7,4x=28, 28\%5 =3$</font>
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$x=8,4x=32, 32\%5 =2$
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$x=9,4x=36, 36\%5 =1$
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$x=10,4x=40, 40\%5 =0$
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....
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所以有解，其它第一个解是 $x=2$,第二个解是$7$。
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这两个解之间差了一个$5$，即$2+5=7$，每加一个$5$，都可以得到一个解。比如 $7+5=12$也是一个解。
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#### 2、为什么线性同余方程可以使用欧几里得算法来求解呢？
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- $a∗x\equiv b (mod\ m)$ **表示意义** 是$(a*x) \% m=b$,从而$(a∗x−b)\%m=0$ 。
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假设是$y_1$倍，因此线性同余方程转化为 $a∗x-b=m∗y_1$ ， 移项： $a*x-m*y_1=b$。令 $-y_1=y$ ,则: $a * x + m * y = b$ ,这就是一个标准的二元一次方程。
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- 根据贝祖定理，上述等式有解当且仅当 $gcd(a,m)|b$，也就是$b$是$gcd(a,m)$的整数倍，有解；
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如果$b$不是$gcd(a,m)$的整数倍，无解，输出 `impossible`
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- 用扩展欧几里得求出一组特解 $x_0$,$y_0$, 使得 $a∗x_0+m∗y_0=gcd(a,m)$。
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- 对比两个方程：扩展欧几里得公式和线性同余方程两个东东
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$
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\large \left\{\begin{matrix}
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a*x + m*y = b & \\
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a∗x_0+m∗y_0=gcd(a,m) &
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\end{matrix}\right.
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$
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两个方程的左右两边，左边的系数是一样的$a,m$,右边的常数不一样，一个是$b$,另一个是$gcd(a,m)$，我们刚才上面讨论过，$b$必须是$gcd(a,m)$的整数倍，方程才有解，也就是说，现在$b$一定是$gcd(a,m)$的整数倍！
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设 $d=gcd(a,m)$,那么$b=t*d$,其中$t=b/gcd(a,m)$是一个整数。
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$\therefore x=b/gcd(a,m) * x_0$,
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因为害怕在乘法运算过程中，造成爆$int$,所以，出发前对$b$进行了转$long\ long$操作，以保证不爆$int$.同时，因为是同余方程，如果取得的值大于$m$,还需要模一下$m$.即：
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```c++
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(LL) b / d * x % m
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```
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### 三、实现代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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typedef long long LL;
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int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
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if (!b) {
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x = 1, y = 0;
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return a;
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}
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int d = exgcd(b, a % b, y, x);
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y -= a / b * x;
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return d;
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}
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int main() {
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int n;
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cin >> n;
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while (n--) {
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int a, b, m;
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cin >> a >> b >> m;
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int x, y;
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int d = exgcd(a, m, x, y);
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if (b % d)
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puts("impossible");
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else
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printf("%d\n", (LL)b / d * x % m);
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}
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return 0;
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}
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```
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