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AcWing 340. 通信线路
一、题目描述
在郊区有 N 座通信基站，P 条 双向 电缆，第 i 条电缆连接基站 A_i 和 B_i。
特别地，1号基站是通信公司的总站 (起点)，N号基站 (终点) 位于一座农场中。
现在，农场主希望对通信线路进行升级，其中升级第 i 条电缆需要花费 L_i
电话公司正在举行优惠活动
农产主可以指定一条从 1 号基站到 N 号基站的路径，并指定路径上不超过 K 条电缆，由电话公司 免费 提供升级服务
农场主只需要支付在该路径上 剩余的电缆中，升级价格最贵 的那条电缆的花费即可
求 至少用多少钱 可以完成升级
输入格式
第 1 行：三个整数 N，P，K。
第 2..P+1 行：第 i+1 行包含三个整数 A_i,B_i,L_i。
输出格式 包含一个整数表示最少花费。
若 1 号基站与 N 号基站之间不存在路径，则输出 −1。
数据范围
0≤K<N≤1000,1≤P≤10000,1≤L_i≤1000000
输入样例：
5 7 1
1 2 5
3 1 4
2 4 8
3 2 3
5 2 9
3 4 7
4 5 6
输出样例：
4
二、题目解析
理解题意
找一条路径，边权最大的k条边忽略，第k + 1大的边权作为该条路径的代价，求最小代价
思考过程
① 从1号点出发，没有路可以到达n点, 无解，输出-1
② 如果 最短路径边数（注意：不是路径的加权和）不超过k条，含义：不用花钱就可以升级线路, 输出0
③ 上面 ②中给我们提出了一个新概念：路径边数，我们知道，如果想计算获取 路径边数，常见的办法是设置边权为1。 那是不是所有边都设置为边权为1呢？好像不行，因为这样的话，那人家还给你修每条路径的钱数就没用上啊，而且你也没有办法求出你的最小支出啊，此路不通。
④ 这就很纠结啊：不设边权为1，无法知道路径长度；全设边权为1，就会丢失关键信息。只能是设置 部分 边权为1。
⑤ 那啥样的边权为1,啥样的边权为0呢？还得用上真实的边权概念！此时，有如下猜想：
如果给我
mid元钱，我有没有办法确定这么多钱能否够完成升级一条线路呢？ 这个简单，我们可以视真实边权大于mid的设置 虚拟边权 为1,反之设为0然后在这个图上用Dijkstra求最短路径，也就是最短路径长度：
- 如果最短路径的长度值大于
k,说明mid小了，再调大一点- 如果最短路径的长度值不大于
k,说明mid大了，再调小一点
噢，原来需要 二分答案
三、Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1010; // 1000个点
const int M = 20010; // 10000条，记录无向边需要两倍空间
int idx, h[N], e[M], w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c) {
e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
int n; //点数
int m; //边数
bool st[N]; //记录是不是在队列中
int k; //不超过K条电缆，由电话公司免费提供升级服务
int dist[N]; //记录最短距离
// u指的是我们现在选最小花费
bool check(int x) {
memset(st, false, sizeof st);
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> q;
dist[1] = 0;
q.push({0, 1});
while (q.size()) {
PII t = q.top();
q.pop();
int d = t.first, u = t.second;
if (st[u]) continue;
st[u] = true;
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int j = e[i], v = w[i] > x; //如果有边比我们现在选的这条边大，那么这条边对方案的贡献为1，反之为0
if (dist[j] > d + v) {
dist[j] = d + v;
q.push({dist[j], j});
}
}
}
//如果按上面的方法计算后，n结点没有被松弛操作修改距离，则表示n不可达
if (dist[n] == INF) {
puts("-1"); //不可达，直接输出-1
exit(0);
}
return dist[n] <= k; //如果有k+1条边比我们现在这条边大，那么这个升级方案就是不合法的，反之就合法
}
int main() {
memset(h, -1, sizeof h);
cin >> n >> m >> k;
int a, b, c;
for (int i = 0; i < m; i++) {
cin >> a >> b >> c;
add(a, b, c), add(b, a, c);
}
/*这里二分的是直接面对答案设问：最少花费
依题意，最少花费其实是所有可能的路径中，第k+1条边的花费
如果某条路径不存在k+1条边(边数小于k+1),此时花费为0
同时，任意一条边的花费不会大于1e6
整理一下，这里二分枚举的值其实是0 ~ 1e6*/
int l = 0, r = 1e6;
while (l < r) {
int mid = (l + r) >> 1;
if (check(mid)) // check函数的意义：如果当前花费可以满足要求，那么尝试更小的花费
r = mid;
else
l = mid + 1;
}
printf("%d\n", l);
return 0;
}