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##AcWing 1319. 移棋子游戏

一、题目描述

给定一个有 N 个节点的 有向无环图，图中某些节点上有棋子，两名玩家交替移动棋子。

玩家每一步可将任意一颗棋子沿一条有向边移动到另一个点，无法移动者输掉游戏。

对于给定的图和棋子初始位置，双方都会采取最优的行动，询问先手必胜还是先手必败。

输入格式 第一行，三个整数 N,M,K，N 表示图中节点总数，M 表示图中边的条数，K 表示棋子的个数。

接下来 M 行，每行两个整数 X,Y 表示有一条边从点 X 出发指向点 Y。

接下来一行， K 个空格间隔的整数，表示初始时，棋子所在的节点编号。

节点编号从 1 到 N。

输出格式 若先手胜，输出 win，否则输出 lose。

数据范围 1≤N≤2000,1≤M≤6000,1≤K≤N

输入样例：

6 8 4
2 1
2 4
1 4
1 5
4 5
1 3
3 5
3 6
1 2 4 6

输出样例：

win

二、解题思路

首先定义 mex 函数，这是施加于一个集合的函数，返回　最小的不属于这个集合的非负整数

例：mex({1,2})=0,mex({0,1})=2,mex({0,1,2,4})=3

在一张有向无环图中，对于每个点 u，设其 所有能到的点 的 SG 函数值集合为集合 A，那么 u 的 SG 函数值为 mex(A)，记做 SG(u)=mex(A)

如图：

例图解释： SG(5)=mex({\phi})=0 SG(3)=mex({SG(5)})=mex({0})=1 SG(4)=mex({SG(5),SG(3)})=mex({0,1})=2 SG(2)=mex({SG(3)})=mex({1})=0 SG(1)=mex({SG(2),SG(4)})=mex({0,2})=1

本题思路

• 如果只有一个棋子（棋子位置是s）： 先手必胜 \Leftrightarrow sg(s)!=0

• 存在多个棋子（其实可以看成存在多个相同的棋盘，棋子的位置是s_1,…,s_k 先手必胜 \Leftrightarrow sg(s1)^sg(s2)^...^sg(sk) != 0

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 2010, M = 6010;

// SG函数模板题
int n, m, k;
int f[N];

int h[N], e[M], ne[M], idx;
void add(int a, int b) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int sg(int u) {
    //记忆化搜索
    if (~f[u]) return f[u];

    //找出当前结点u的所有出边，看看哪个sg值没有使用过
    set<int> S;
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
        S.insert(sg(e[i]));

    //找到第一个没有出现的过的自然数， 0,1,2,3,4,...
    for (int i = 0;; i++)
        if (S.count(i) == 0) {
            f[u] = i;
            break;
        }
    return f[u];
}

int main() {
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n >> m >> k;
    while (m--) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b);
    }

    memset(f, -1, sizeof f); //初始化sg函数的结果表
    int res = 0;
    while (k--) {
        int u;
        cin >> u;
        res ^= sg(u); //计算每个出发点的sg(u)，然后异或在一起
    }

    if (res) //所有出发点的异或和不等于0,先手必胜
        puts("win");
    else //所有出发点的异或和等于0，先手必败
        puts("lose");

    return 0;
}