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取整函数及其性质

1、取整函数定义及分类

取整函数是一类将实数映射到相近的整数的函数。

常用的取整函数有两个，分别是下取整函数和上取整函数。

下取整函数在数学中一般记作\left \lfloor x \right \rfloor，比自己小的最大整数，在计算机科学中一般记作floor(x)；

上取整函数在数学中一般记作\left \lceil x \right \rceil，比自己大的最小整数，在计算机科学中一般记作ceil(x)。

2、性质：(仅列举计算机学习中经常用到的性质)

任意实数x,有: x−1<⌊x⌋≤x≤⌈x⌉<x+1
下取整函数为等幂运算: \left \lfloor \left \lfloor x \right \rfloor \right \rfloor = \left \lfloor x \right \rfloor.
对任意的整数 k 和任意实数 x，\left \lfloor k+x \right \rfloor = k + \left \lfloor x \right \rfloor
一般的数值修约规则可以表述为将x映射到 floor(x + 0.5)。
\left \lceil x \right \rceil = - \left \lfloor -x \right \rfloor
对于整数k有：\left \lfloor k/2 \right \rfloor + \left \lceil k/2 \right \rceil = k

3、对数与取整函数的关系

二者关系为:

\left \lceil \log (x+1) \right \rceil = \left \lfloor \log x \right \rfloor +1, x\in Z, x\geqslant 1

证明：

令m = \left \lfloor \log x \right \rfloor，

则 m \leq \log x < m+1 ①

由式①可得

2^{m} \leq x < 2^{m+1} ②,

进而可得

2^{m} < x+1 \leq 2^{m+1}

因为 x\in Z, 所以 m < \log (x+1) \leq m+1.

所以 \left \lceil \log (x+1) \right \rceil = m+ 1= \left \lfloor \log x \right \rfloor + 1.

4、向下取整与向上取整的转换方法

我们知道，一般在程序语言中，两个整数相除都是向下取整。例如，5/3=1,2/3=0；

那么向上取整该如何表示呢，也就是说，向上取整能不能通过向下取整的方式来表达？

当然可以，下面是转换公式：

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