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##[$AcWing$ $877$. 扩展欧几里得算法](https://www.acwing.com/problem/content/description/879/)
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### 一、题目描述
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给定 $n$ 对正整数 $a_i,b_i$，对于每对数，求出一组 $x_i,y_i$，使其满足 $a_i×x_i+b_i×y_i=gcd(a_i,b_i)$。
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**输入格式**
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第一行包含整数 $n$。
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接下来 $n$ 行，每行包含两个整数 $a_i,b_i$。
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**输出格式**
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输出共 $n$ 行，对于每组 $a_i,b_i$，求出一组满足条件的 $x_i,y_i$，每组结果占一行。
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本题答案不唯一，输出任意满足条件的 $x_i,y_i$ 均可。
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**数据范围**
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$1≤n≤10^5$
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$1≤a_i,b_i≤2×10^9$
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**输入样例**
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```cpp {.line-numbers}
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2
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4 6
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8 18
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```
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**输出样例**
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```cpp {.line-numbers}
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-1 1
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-2 1
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```
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<font color='red' size=4><b>样例理解：
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- $2x+3y=1$ 一组可行解：$(-1,1)$
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- $8x+18y=2$ 一组可行解：$(-2,1)$
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</b></font>
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### 二、[裴蜀定理](https://baike.baidu.com/item/%E8%A3%B4%E8%9C%80%E5%AE%9A%E7%90%86/5186593?fr=aladdin)
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#### 裴蜀定理
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若$a$,$b$是整数,且$gcd(a,b)=d$，那么:
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- 对于任意的整数$x$,$y$,$ax+by$都一定是$d$的倍数
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- 一定存在整数$x$,$y$，使$ax+by=d$成立
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#### 裴蜀定理推论
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$a,b$互质 $\Leftrightarrow $ $gcd(a,b)=1$ $\Leftrightarrow $ 存在整数$x$,$y$,使得$ax+by=1$
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#### 举栗子
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$2x+y=3$
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那么$a=2$,$b=1$,$m=3$,$gcd(2,1)=1$,$3$是$1$的倍数，所以这个方程一定有整数解。
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$x=1$,$y=1$就是一个整数解，还可以有$x=-2$,$y=7$也是一组整数解。
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<font color='red' size=4><b>注意：如果一个二元一次方程有正整数解，那么不只是一组解</b></font>
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####再举栗子
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$4x+2y=5$
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有没有整数解呢？没有，因为$a=4,b=2,m=5,gcd(4,2)=2,5$是除不开$2$的，所以没有整数解!
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#### [如何求贝祖数？](https://www.bilibili.com/video/av77974575/)
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什么是贝祖数？
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比如：$2x+y=3$，那么符合这个等式的$x=1$,$y=1$就是一组 **贝祖数**
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可以使用 **扩展欧几里得算法求贝祖数**
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**举个栗子**：
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求 $104x+40y=8$ ，有没有合适的$x,y$,也就是求贝祖数
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通过贝祖定理看一下，它是不是有解： $gcd(104,40)=8$,$8$是$8$的倍数，所以此方程一定有解，那么解是什么呢？
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**扩展欧几里得算法的推导过程：**
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在$exgcd$中，我们实际是求不定方程$ax+by=gcd(a,b)$，并且，我们所返回的值，是这组解$(x，y)$的最大公因数$gcd(x,y)$。
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所以我们最后得到的解，要通过$X=x∗k/gcd(a,b)，Y=(k−a∗x)/gcd(a,b)$来进行一个小小的转换，得到一组解
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### 算法实现过程证明
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#### ($1$)、当 $b=0$时
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$\large ax+by=gcd(a,0)$，也就是:$\large ax=gcd(a,0)=a$,所以$\large x=1$。
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那么$y$呢？因为普遍意义上的求贝祖数，一般是指不小于零的一组解，那么不小于$0$的第一个可能$y$值就是:$y=0$,所以，可以将$x=1,y=0$做为一组特解返回，也就是返回了一组**不小于零的贝祖数**。
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#### ($2$)、当 $b≠0$时
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$\because ax+by=gcd(a,b)$ 【原计算式】
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$gcd(b,a\%b)=gcd(a,b)$ 【辗转相除法】
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$\therefore ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)=b\cdot x_0+(a\%b)\cdot y_0$ ① 【变量互换，最终是一致滴~】
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$\because a\%b=a-⌊\frac{a}{b}⌋\cdot b$ ②【用整除向下取整来描述扣去$a$中所有的$b$,剩下的就是余数】
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将②代入①
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$\therefore ax+by=bx_0+(a-⌊\frac{a}{b}⌋\cdot b)\cdot y_0$
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$\therefore ax+by=ay_0+b(x_0-⌊\frac{a}{b}⌋\cdot y_0)$
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$\therefore x=y_0,y=x_0-⌊\frac{a}{b}⌋y_0$
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### 三、实现代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
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if (!b) {
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x = 1, y = 0;
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return a;
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}
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int d = exgcd(b, a % b, y, x);
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y -= a / b * x;
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return d;
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}
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int main() {
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int n;
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cin >> n;
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while (n--) {
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int a, b;
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cin >> a >> b;
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int x, y;
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exgcd(a, b, x, y);
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printf("%d %d\n", x, y);
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}
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return 0;
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}
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```
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### 四、三者之间的关系
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#### 1. 裴蜀定理
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- 对于任意一对正整数$a,b$，一定存在非零整数$x,y$使得$ax+by=gcd(a,b)$
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- 可以用来判断方程$ax+by=c$是否有解，只要看$c$是否是$gcd(a,b)$的倍数
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#### 2. 扩展欧几里得算法
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如果方程$ax+by=c$有解，那么扩欧可以求方程$ax+by=gcd(a,b)$一组解($x_0,y_0$)
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#### 3.线性同余方程
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给定$a,b,m$构造出$x$使得$ax≡b(mod\ m)$成立
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$ax≡b(mod\ m)⟺ax=my+b$($y$是整数)
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由此可知$ax−my=b$
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令$y'=−y$则有$ax+my'=b$
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则构造$x$一定使得$ax+my'=b$有解
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根据裴蜀定理可知该方程有解的充要条件是$(a,m)|b$
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设$d=(a,m)$,若$d∤b$则$x$不存在
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若$d|b$，则可以用 **扩展欧几里得算法** 算出$ax+bm=gcd(a,m)=d$的$x_0,y_0$
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再将$x_0×\frac{b}{d},y_0×\frac{b}{d}$得到$x$与$y'$ |
