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python/TangDou/AcWing/BeiBao/【总结】背包问题的至多_恰好_至少-主帖.md

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原贴

一、学习过程总结

一开始学背包问题时遇到的大多数的状态表示是：从前i个物品中选，且总体积至多是j的问题。

慢慢地在提高课中，就有出现状态表示是：从前i个物品中选，且总体积恰好是j的问题。例如 AcWing 1023. 买书 ，求的是恰好是j的总方案数问题。

同时还出现了状态表示是：从前i个物品中选，且总体积至少是j的问题。例如 AcWing 1020. 潜水员 ，求的是总体积至少是j的最小价值。

二、求方案数初始化总结

二维情况

  1. 体积至多j 【01+完全】 f[0][i] = 1, 0 <= i <= m，其余是0 示例

    初始化解释： 用前0种物品，在小于i的空间内，方案数是1,表示由于啥也不能选择，所以不管是哪个空间，都只能有一种方案，就是啥也不选。

  2. 体积恰好j 【01+完全】 f[i][0] = 1, 其余是0 示例

    初始化解释: 在前i种物品中选择，恰好空间为0的方案数，只能是啥也不选。


  1. 体积至少j 【只01背包】 f[0][0] = 1, 其余是0 示例

    初始化解释: 在前0种物品中选择，空间至少为0的方案数，只能是啥也不选

一维情况

  1. 体积至多j, f[i] =1, 0 <= i <= m 示例
  2. 体积恰好j, f[0] =1, 其余是0 示例
  3. 体积至少j, f[0] =1, 其余是0 示例

三、求最大值最小值初始化总结

二维情况

  1. 体积至多j 【01+完全】 f[i,j] = 0，0 <= i <= n, 0 <= j <= m（ 只会求价值的最大值）示例

  2. 体积恰好j: 当求价值的最小值：f[0][0] = 0, 其余是INF 示例 当求价值的最大值：f[0][0] = 0, 其余是-INF 示例

  3. 体积至少j，f[0][0] = 0，其余是INF（只会求价值的最小值） 示例

一维情况

  1. 体积至多j，f[i] = 0, 0 <= i <= m（ 只会求价值的最大值） 示例
  2. 体积恰好j: 【01+完全】
  • 当求价值的最小值：f[0] = 0, 其余是INF 示例
  • 当求价值的最大值：f[0] = 0, 其余是-INF 示例
  1. 体积至少j，f[0] = 0，其余是INF（只会求价值的最小值） 示例