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## 【总结】动态规划的具体路径输出
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### 一、解决的问题
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在取得了动态规划的极值或最优解之后，要求输出具体的路径。
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### 二、解决思路
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反向查找转移路径，从最后状态出发，检查所有前序状态，看看是从哪个状态转移过来的，一直到出发点为止。
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$dfs$法，路径是反的，需要倒序输出。
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倒序循环法，没有这个问题，可以正序输出。
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### 三、$dfs$后序输出法<font color='red' size=4><b>【推荐】</b></font>
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**致敬墨染空大神**
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<font color='red' size=4><b>优点：代码短，好理解，充分利用了递归的堆栈完成了倒序输出。</b></font>
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```c++
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void out(int i, int j) {
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if (i == 0) return; //走出界就完事了
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int k = path[i][j];
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out(i - 1, j - k); //利用递推的栈机制，后序输出，太强了~
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printf("%d %d\n", i, k);
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}
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// 调用示例：
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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for (int j = 1; j <= m; j++)
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scanf("%d", &w[j]);
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for (int j = m; j; j--)
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for (int k = 1; k <= j; k++) {
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int val = f[j - k] + w[k];
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if (val > f[j]) {
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f[j] = val;
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//在状态转移时，记录路径
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path[i][j] = k;
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}
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}
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}
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//输出结果
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printf("%d\n", f[m]);
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//输出路径
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out(n, m);
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```
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### 四、倒序循环法
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```c++
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int j = m; // j开始枚举每个可用空间
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for (int i = n; i >= 1; i--) // 倒序遍历dp数组
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for (int k = 0; k <= j; k++) // f[i][j]是从哪个前序状态f[i-1][?]转移而来
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if (f[i][j] == f[i - 1][j - k] + w[i][k]) {
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path[i] = k; //记录路径
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j -= k; //减少体积
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break; //找到一组即可
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}
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//输出路径
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for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d %d\n", i, path[i]);
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```
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### 五、普通$dfs$法
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```c++
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//反向查找转移路径:dfs法
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int path[N], idx, id;
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void dfs(int i, int j) {
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if (i == 0) return;
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for (int k = 0; k <= j; k++) {
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if (f[i - 1][j - k] + w[i][k] == f[i][j]) {
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path[++idx] = k;
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dfs(i - 1, j - k);
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return;
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}
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}
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}
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//调用
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dfs(n, m);
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for (int i = idx; i; i--) printf("%d %d \n", ++id, path[i]);
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``` |