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##AcWing 1321. 取石子

一、题目描述

Alice 和 Bob 两个好朋友又开始玩取石子了。

游戏开始时，有 N 堆石子排成一排，然后他们轮流操作（Alice 先手），每次操作时从下面的规则中任选一个：

• 从某堆石子中取走一个；
• 合并任意两堆石子。

不能操作的人输。

Alice 想知道，她是否能有必胜策略。

输入格式 第一行输入 T，表示数据组数。

对于每组测试数据，第一行读入 N；

接下来 N 个正整数 a_1,a_2,⋯,a_N ，表示每堆石子的数量。

输出格式 对于每组测试数据，输出一行。

输出 YES 表示 Alice 有必胜策略，输出 NO 表示 Alice 没有必胜策略。

数据范围 1≤T≤100,1≤N≤50,1≤a_i≤1000

输入样例：

3
3
1 1 2
2
3 4
3
2 3 5

输出样例：

YES
NO
NO

二、博弈论总结

必胜态 \Rightarrow 选择合适方案 \Rightarrow 必败态 必败态 \Rightarrow 选择任何路线 \Rightarrow 必胜态

三、本题题解

先来考虑 简单情况：所有堆的石子个数 >1

设 b = 堆数 + 石子总数 − 1

可以推出: 先手必胜 \Leftrightarrow b是奇数

证明：考虑以下结论：

α. 任意一个是奇数的情况 可以 被转换成一个偶数的情况 (一定存在一个偶数后继)

β. 任意一个是偶数的情况 一定 会被转换成一个奇数的情况 (所有后继都是奇数)。

先来考虑结论 α.

• 如果堆数 >1，可以合并其中两堆石子，这样 b 就会变成偶数
• 如果堆数 =1，就可以拿掉 1 个石子，这样 b 也会变成偶数

再来考虑结论 β.

• 合并其中的两堆石子：显然，b 会变成奇数
• 取了一个石子： (1) 取得堆中石子个数 >2：石子个数 − 1，b 会变成奇数 (2) 取得堆中石子个数 =2：石子个数变成了 1(继续分情况讨论)：
  1. 只有一堆：b 是奇数，对手必胜
  2. 多于一堆：b 是奇数，对手可以把剩下的一个石子放到其他的堆里面去，对手同样必胜

这样，我们成功的证明除了: 先手必胜 \Leftrightarrow (b 是奇数)

接下来考虑一般情况：有些堆的石子个数可能 =1 假设石子个数 =1 的堆数为 a，b 仍然表示剩余石子的 操作数，即 (堆数 + 石子总数 − 1) 把所有石子分成两个区域，一区域的数量 =1 (对应 a)，二区域的数量都 >1 (对应 b).

那么可以写出以下转移：

f(a,b):

① 从 a中取 1个 →f(a−1,b) ② 从 b中取 1个 →f(a,b−1) ③ 合并 b中的 2个 →f(a,b−1) ④ 合并 a中 2个 (b堆石子数 +2,堆数 +1) →f(a−2,b+3) ⑤ 合并 a中 1个 b中 1个 (b堆石子数 +1, a个数 −1)→f(a−1,b+1)

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 55, M = 50050; // M 包括了 50 * 1000 + 50个石子数量为1的堆数
int f[N][M];

int dfs(int a, int b) {
    int &v = f[a][b];
    if (~v) return v;
    // 简单情况: 即所有堆的石子个数都是严格大于1，此时a是0
    if (!a) return v = b % 2; // 奇数为先手必胜，偶数为先手必败

    // 一般5个情况 + 1个特殊情况
    
    // 特殊情况: 如果操作后出现b中只有一堆，且堆中石子个数为1
    // 那么应该归入到a中，并且b为0
    // 以下所有情况，如果能进入必败态，先手则必胜！
    if (b == 1) return dfs(a + 1, 0);

    // 情况1：有a，从a中取一个
    if (a && !dfs(a - 1, b)) return v = 1;

    // 情况2, 4：有b，从b中取1个(石子总数 - 1) or 合并b中两堆(堆数 - 1),
    if (b && !dfs(a, b - 1)) return v = 1;

    // 情况3：有a >= 2， 合并a中两个
    // 如果b的堆数不为0， a - 2,  b + 1堆 + 2个石子（只需要加delta）  ====> b + 3
    // 如果b的堆数为0， a - 2,  0 + 2个石子 + 1堆 - 1  ====> b + 2
    if (a >= 2 && !dfs(a - 2, b + (b ? 3 : 2))) return v = 1;

    // 情况5：有a，有b， 合并a中1个b中1个, a - 1, b的堆数无变化 + 1个石子（只加delta）
    if (a && b && !dfs(a - 1, b + 1)) return v = 1;

    // 其他情况，则先手处于必败状态
    return v = 0;
}

int main() {
    memset(f, -1, sizeof f);
    int T, n;
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n;
        int a = 0, b = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int x;
            cin >> x;
            if (x == 1) a++;
            // b != 0时 加1堆 + 加x石子 = 原来的 + x + 1 (其实就是区别一开始的时候)
            // 当b != 0时, 我们往后加的delta
            // b == 0时 加1堆 + 加x石子 = 0 + 1 + x - 1 = x
            // 注意操作符优先级
            else
                b += b ? x + 1 : x;
        }

        // 1 为先手必胜， 0为先手必败
        if (dfs(a, b))
            puts("YES");
        else
            puts("NO");
    }
    return 0;
}