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前缀和和差分洛谷题单总结

参考文献

一、公式

前缀和的公式

一维：s[i] = a[i] + s[i-1]

二维：s[i][j] = a[i][j] + s[i-1] [j] + s[ i] [j-1] - s[i-1][j-1]

差分的公式

一维：b[i] =s[i] - s[i-1]

二维：b[i] = s[i][j] - s[i-1][j]-s[i][j-1]+s[i-1][j-1]

二、题单

P1115 最大子段和

分析 先求每个位置的前缀和（某个区间求和前缀和可以说是最快的），然后去找该位置前前缀和的最小值，如果要求一段和最大，就要用这段和减去前面最小的值。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, a[N], s[N], ans[N];

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i], s[i] = s[i - 1] + a[i]; // 前缀和

    int mi = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ans[i] = s[i] - mi;
        mi = min(mi, s[i]);
    }
    int res = -INF;
    for (int i = 1; i <= n; i++) res = max(res, ans[i]);
    cout << res << endl;
    return 0;
}

P3397 地毯

分析 看到这里的时候，我就想到了一个矩阵的某个子矩阵进行加减，瞬间想到二维差分和二位前缀和,二位差分的公式为：

由差分算的二位前缀和公式：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1010;
int b[N][N], s[N][N];
int n, m;

int main() {
    cin >> n >> m;
    while (m--) {
        // 从0开始构建差分数组
        int x1, y1, x2, y2;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        b[x1][y1] += 1; // 进行子矩阵的加减，差分
        b[x2 + 1][y1] -= 1;
        b[x1][y2 + 1] -= 1;
        b[x2 + 1][y2 + 1] += 1;
    }
    // 还原为原始数组
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            s[i][j] = b[i][j] + s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1]; // 把之前的加减结果进行求和
            printf("%d ", s[i][j]);                                          // 注意输出格式，每个数带一个空格
        }
        printf("\n"); // 结束一行的输出输出一个换行符号
    }
    return 0;
}

P3406 海底高铁

分析 ① 每一段的最小费用加起来则总体费用最小。

② 这里的区间是线段而不是一个具体的数，所以我们需要以一个统一的标准进行区间段的区分：于是我们想到了以每个区间的左端点值进行整个线段的记录。

③ 节约时间可以对某段区间做同样的加减数的方法：想到的就是差分（当然有差分就会有由差分求前缀和）。

④ 最后用得到的线段数比较两种购买方案。

注意 当然代码中还有很多需要记录的细节！！！例如：线段数是站点数-1，同时差分和前缀和的循环最好是从1开始（涉及边界问题）