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最小生成树

Prim算法和Kruskal算法都是用于 求解最小生成树的算法，但它们的使用场景和应用领域存在一些差异。

一、算法概述

Prim算法

① Prim算法是一种贪心算法，基于顶点的方式构建最小生成树。 ② Prim算法 适用于稠密图，即边的数量接近于完全图(n*(n-1)/2)的图。 ③ Prim算法从一个起始顶点开始逐步扩展，直到生成一个包含所有顶点的最小生成树。 ④ Prim算法的时间复杂度为O(ElogV)，对于稠密图有较好的性能。

AcWing 858. Prim 算法求最小生成树

Code模板

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 510;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int g[N][N]; // 稠密图，邻接矩阵
int dis[N];  // 这个点到集合的距离
bool st[N];  // 是不是已经使用过
int res;     // 最小生成树里面边的长度之和
int pre[N];  // 前驱结点

// 普利姆算法求最小生成树
int prim() {
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    memset(pre, -1, sizeof pre); // 记录前驱路径
    dis[1] = 0;

    for (int i = 0; i < n; i++) { // 迭代n次
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (!st[j] && (t == -1 || dis[t] > dis[j])) t = j;
        if (i && dis[t] == INF) return INF; // 非连通图，没有最小生成树
        if (i) res += dis[t];
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (!st[j] && g[t][j] < dis[j]) {
                dis[j] = g[t][j];
                pre[j] = t; // 记录是由谁转移而来
            }
        st[t] = true;
    }
    return res;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    memset(g, 0x3f, sizeof g);

    // 读入数据
    while (m--) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
    }
    int t = prim();
    if (t == INF)
        puts("impossible");
    else
        cout << t << endl;

    // 输出前驱结点
    for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", pre[i]);
    return 0;
}

Kruskal算法

① Kruskal算法是一种基于边的方式构建最小生成树的算法。 ② Kruskal算法 适用于稀疏图，即边的数量远小于完全图(n*(n-1)/2)的图。 ③ Kruskal算法按权值递增的顺序选择边，并通过判断是否构成环来决定是否将边加入最小生成树。 ④ Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)，对于稀疏图有较好的性能。

AcWing 859. Kruskal 算法求最小生成树

Code模板

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 100010, M = N << 1;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m; // n条顶点,m条边
int res;  // 最小生成树的权值和
int cnt;  // 最小生成树的结点数

// Kruskal用到的结构体
struct Node {
    int a, b, c;
    bool const operator<(const Node &t) const {
        return c < t.c; // 边权小的在前
    }
} edge[M]; // 数组长度为是边数

// 并查集
int p[N];
int find(int x) {
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

// Kruskal算法
void kruskal() {
    // 1、按边权由小到大排序
    sort(edge, edge + m);
    // 2、并查集初始化
    for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
    // 3、迭代m次
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a = edge[i].a, b = edge[i].b, c = edge[i].c;
        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b)
            p[a] = b, res += c, cnt++; // cnt是指已经连接上边的数量
    }
    // 4、特判是不是不连通
    if (cnt < n - 1) res = INF;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        edge[i] = {a, b, c};
    }
    kruskal();
    if (res == INF)
        puts("impossible");
    else
        printf("%d\n", res);
    return 0;
}

二、最小生成树练习题题单

AcWing 1140. 最短网络

Prim或者Kruskal祼题,直接套模板即可

AcWing 1141. 局域网

最小生成森林，需要注意与最小生成树的区别,两种方法，推荐使用Kruskal

AcWing 1142. 繁忙的都市

AcWing 1143. 联络员 AcWing 1144. 连接格点

三、最小生成树的扩展应用题单

AcWing 1146. 新的开始 AcWing 1145. 北极通讯网络 AcWing 346. 走廊泼水节 AcWing 1148. 秘密的牛奶运输