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图论-多源最短路径（`Floyd`算法）

一、`Floyd`

Floyd算法是一次性求所有结点之间的最短距离，能处理负权边的图，程序比暴力的DFS更简单，但是复杂度是O(n^3)，只适合 n < 200的情况。 Floyd运用了 动态规划 的思想，求 i 、 j两点的最短距离，可分两种情况考虑，即经过图中某个点 k的路径和不经过点 k 的路径，取两者中的最短路径。

判断负圈眼尖的人儿可能发现邻接矩阵 mp 中， mp[i][i]并没有赋初值0，而是 inf。并且计算后 mp[i][i]的值也不是 0，而是 mp[i][i]=mp[i][u]+……+mp[v][i]，即从外面绕一圈回来的最短路径，而这正 用于判断负圈，即 mp[i][i]<0。

相关变形结合题目讲，如：负圈、打印路径、最小环、传递闭包

记录坑点：重复边，保留最小的那个。

二、模板

void floyd() {
	for (int k = 1; k <= n; k++)
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			if (g[i][k] != inf)  //优化
				for (int j = 1; j <= n; j++)
					if (g[i][j] > g[i][k] + g[k][j])
						g[i][j] = g[i][k] + g[k][j];
}

三、例题

`POJ-3259` `Wormholes`

类型判负环

题意

正常路是m条双向正权边
虫洞是w条单向负权边
题目让判断是否有负权回路

办法利用Floyd找两点间花费的最短时间，判断从起始位置到起始位置的最短时间是否为负值（判断负权环），若为负值，说明他通过虫洞回到起始位置时比自己最初离开起始位置的时间早。

代码实现: 在第二重循环，求完第i个结点后判断。i到i之间的最短距离是一个负值，说明存在一个经过它的负环。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

const int N = 502;
int n, m, w;
int g[N][N];

// floyd判断是否存在负圈
bool floyd() {
    for (int k = 1; k <= n; k++)
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            if (g[i][k] != INF) { // 优化
                for (int j = 1; j <= n; j++)
                    if (g[i][j] > g[i][k] + g[k][j])
                        g[i][j] = g[i][k] + g[k][j];
                if (g[i][i] < 0) return true; // 发现负圈
            }
    return false;
}
int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n >> m >> w;
        memset(g, INF, sizeof g); // 初始化邻接矩阵

        // 双向正值边
        while (m--) {
            int a, b, c;
            cin >> a >> b >> c;
            // 注意坑：重边
            g[a][b] = g[b][a] = min(c, g[a][b]);
        }
        // 单向负值边
        while (w--) {
            int a, b, c;
            cin >> a >> b >> c;
            g[a][b] = -c; // 负值边
        }

        if (floyd())
            puts("YES");
        else
            puts("NO");
    }
    return 0;
}

`HDU-1385` `Minimum` `Transport` `Cost`

类型打印路径

题意给你所有城市到其他城市的道路成本和经过每个城市的城市税，给你很多组城市，要求你找出每组城市间的最低运输成本并且输出路径，如果有多条路径则输出字典序最小的那条路径。注意，起点城市和终点城市不需要收城市税。

分析输出路径，多个答案则输出字典序最小的，无法到达输出-1。读入邻接表， cost[]记录每个城市额外费用， path[][]记录路径，比如 path[i][j]=k 表示 i到 j的路径是 i先到 k，再从 k到 j，floyd()里维护即可。然后处理下输出(比较恶心)。

https://juejin.cn/post/6935691567696969764

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图论-多源最短路径（Floyd算法）

一、Floyd