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658 B
658 B
裴蜀定理(贝祖定理)
定理
ax+by=c,x∈Z^+,y∈Z^+成立的充要条件是gcd(a,b)|c。
证明
-
充分性 设
s=gcd(a,b)，显然s|a，并且s|b因为x,y∈Z^+所以s|ax,s|by显然要使得之前的式子成立，则必须满足c是a和b的公约数的倍数。 -
必要性 又因为
x和y是正整数 所以c必然是a,b最大公约数的倍数。
因此，证得该定理成立
说明 该定理完全可以推广到若干数的线性组合
例题的话，请看这里：Luogu 4549 裴蜀定理/Min