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## 图论-多源最短路径（$Floyd$算法）
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### 一、$Floyd$
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$Floyd$算法是一次性求所有结点之间的最短距离，能处理负权边的图，程序比暴力的$DFS$更简单，但是复杂度是$O(n^3)$，只适合 $n < 200$的情况。
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$Floyd$运用了 **动态规划** 的思想，求 $i 、 j$两点的最短距离，可分两种情况考虑，即经过图中某个点 $k$的路径和不经过点 $k$ 的路径，**取两者中的最短路径**。
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### 二、模板
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```cpp {.line-numbers}
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void floyd() {
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for (int k = 1; k <= n; k++)
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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if (g[i][k] != inf) //优化
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for (int j = 1; j <= n; j++)
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if (g[i][j] > g[i][k] + g[k][j])
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g[i][j] = g[i][k] + g[k][j];
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}
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```
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### 三、判负环
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眼尖的人儿可能发现邻接矩阵 $g$ 中， $g[i][i]$并没有赋初值$0$，而是 $inf$。并且计算后 $g[i][i]$的值也不是 $0$，而是 $g[i][i]=g[i][u]+……+g[v][i]$，即从外面绕一圈回来的最短路径，而这正 **用于判断负圈**，即 $g[i][i]<0$。
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#### [$POJ-3259$ $Wormholes$](https://link.juejin.cn/?target=https%3A%2F%2Fvjudge.net%2Fproblem%2FPOJ-3259)
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**类型**
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判负环
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**题意**
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- 正常路是$m$条双向正权边
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- 虫洞是$w$条单向负权边
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- 题目让判断是否有负权回路
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**办法**
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利用$Floyd$找两点间花费的最短时间，判断从起始位置到起始位置的最短时间是否为负值（判断负权环），若为负值，说明他通过虫洞回到起始位置时比自己最初离开起始位置的时间早。
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**代码实现**:
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在第二重循环，求完第$i$个结点后判断。$i$到$i$之间的最短距离是一个负值，说明存在一个经过它的负环。
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```cpp {.line-numbers}
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#include <cstdio>
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#include <cstring>
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#include <algorithm>
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#include <iostream>
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using namespace std;
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const int INF = 0x3f3f3f3f;
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const int N = 502;
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int n, m, w;
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int g[N][N];
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// floyd判断是否存在负圈
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bool floyd() {
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for (int k = 1; k <= n; k++)
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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if (g[i][k] != INF) { // 优化
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for (int j = 1; j <= n; j++)
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if (g[i][j] > g[i][k] + g[k][j])
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g[i][j] = g[i][k] + g[k][j];
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if (g[i][i] < 0) return true; // 发现负圈
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}
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return false;
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}
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int main() {
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int T;
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cin >> T;
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while (T--) {
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cin >> n >> m >> w;
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memset(g, INF, sizeof g); // 初始化邻接矩阵
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// 双向正值边
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while (m--) {
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int a, b, c;
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cin >> a >> b >> c;
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// 注意坑：重边
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g[a][b] = g[b][a] = min(c, g[a][b]);
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}
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// 单向负值边
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while (w--) {
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int a, b, c;
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|
cin >> a >> b >> c;
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g[a][b] = -c; // 负值边
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|
}
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if (floyd())
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puts("YES");
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else
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|
puts("NO");
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|
}
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|
return 0;
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|
}
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|
```
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### 四、打印路径
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#### [$HDU-1385$ $Minimum$ $Transport$ $Cost$](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1385)
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**类型**
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打印路径
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**题意**
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给你所有城市到其他城市的道路成本和经过每个城市的城市税，给你很多组城市，要求你找出每组城市间的最低运输成本并且输出路径，**如果有多条路径则输出字典序最小的那条路径**。 **注意**，起点城市和终点城市不需要收城市税(中间点才收税,也就是插值的$k$收税)。
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**分析**
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输出路径，多个答案则输出字典序最小的，无法到达输出$-1$。
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读入邻接表， $w[]$记录每个城市额外费用， $path[][]$记录路径，$floyd()$里维护即可。然后处理下输出(比较恶心)。
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> **解释**：`int path[N][N]; `
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$i \rightarrow j$ 可能存在多条路线，我要找最短的。如果有多条最短的，我要字典序最小的。现在路线唯一了吧！比如这条路线最终是
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$i \rightarrow a \rightarrow b \rightarrow c \rightarrow d \rightarrow j$,则$path[i][j]=a$,也就是第一个后继节点。
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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|
using namespace std;
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const int N = 110;
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const int INF = 0x3f3f3f3f;
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// Floyd+记录起点后继
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int n;
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int g[N][N], w[N];
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int path[N][N]; // 记录i到j最短路径中i的后继
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void floyd() {
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for (int k = 1; k <= n; k++)
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|
for (int i = 1; i <= n; i++)
|
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|
for (int j = 1; j <= n; j++) {
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|
if (g[i][j] > g[i][k] + g[k][j] + w[k]) {
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|
|
g[i][j] = g[i][k] + g[k][j] + w[k];
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|
|
path[i][j] = path[i][k]; // i->j这条最短路径上，i后面第一个节点，是i->k路径上第一个节点
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|
}
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// 相同路径下选择后继更小的(为了字典序)
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|
if (g[i][j] == g[i][k] + g[k][j] + w[k])
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|
if (path[i][j] > path[i][k])
|
|
|
path[i][j] = path[i][k];
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|
|
}
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|
|
}
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|
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|
// 递归输出路径
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void print(int s, int e) {
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printf("-->%d", path[s][e]); // 输出s的后继
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|
if (path[s][e] != e) // 如果不是直连
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|
print(path[s][e], e); // 递归输出后继
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|
}
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|
|
/*
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|
|
From 1 to 3 :
|
|
|
Path: 1-->5-->4-->3
|
|
|
Total cost : 21
|
|
|
|
|
|
From 3 to 5 :
|
|
|
Path: 3-->4-->5
|
|
|
Total cost : 16
|
|
|
|
|
|
From 2 to 4 :
|
|
|
Path: 2-->1-->5-->4
|
|
|
Total cost : 17
|
|
|
*/
|
|
|
int main() {
|
|
|
#ifndef ONLINE_JUDGE
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freopen("HDU1385.in", "r", stdin);
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|
#endif
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while (cin >> n, n) {
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|
for (int i = 1; i <= n; i++)
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|
|
for (int j = 1; j <= n; j++) {
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|
cin >> g[i][j];
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|
if (g[i][j] == -1) g[i][j] = INF;
|
|
|
path[i][j] = j;
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|
}
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|
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|
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i];
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floyd();
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int s, e;
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while (cin >> s >> e, ~s && ~e) {
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printf("From %d to %d :\n", s, e);
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|
printf("Path: %d", s);
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|
if (s != e) print(s, e); // 起点与终点不同开始递归
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|
printf("\nTotal cost : %d\n\n", g[s][e]);
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|
}
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|
}
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|
return 0;
|
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|
}
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|
```
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### 五、最小环
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#### [$HDU$-$1599$ $find$ $the$ $mincost$ $route$](https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1599)
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**类型: 最小环**
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**题意**：
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>杭州有$N$个景区，景区之间有一些双向的路来连接，现在$8600$想找一条旅游路线，这个路线从$A$点出发并且最后回到$A$点，假设经过的路线为$V_1,V_2,…V_K$,$V_1$,那么必须满足$K>2$,就是说至除了出发点以外至少要经过$2$个其他不同的景区，而且不能重复经过同一个景区。现在$8600$需要你帮他找一条这样的路线，并且花费越少越好。
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|
>**$Input$**
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第一行是$2$个整数$N$和$M$（$N <= 100, M <= 1000$)，代表景区的个数和道路的条数。
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|
接下来的$M$行里，每行包括$3$个整数$a,b,c$.代表$a$和$b$之间有一条通路，并且需要花费$c$元($c <= 100$)。
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**$Output$**
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对于每个测试实例，如果能找到这样一条路线的话，输出花费的最小值。如果找不到的话，输出"It’s impossible.".
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**$Sample$ $Input$**
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cpp
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3 3
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|
1 2 1
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2 3 1
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1 3 1
|
|
|
3 3
|
|
|
1 2 1
|
|
|
1 2 3
|
|
|
2 3 1
|
|
|
**$Sample$ $Output$**
|
|
|
3
|
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|
It’s impossible
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**分析**：
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求最小环，用$g[]$记录原距离，当枚举中间结点 $k$时，首先知道任意两点 $i、j$不经过 $k$的最短路径 $dis[i][j]$（原$floyd$的二三重循环后更新 $dis[i][j]$得到经过$k$的最短路），此时枚举 $i$和 $j$得到一个经过 $k$的环（ $i$到 $j$， $j$到 $k$， $k$到 $i$）并记录最小答案即可，即 $dis[i][j] + g[i][k] + g[k][j]$。
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注意题目 $i, j, k$不能相同，还有坑点：`long long`
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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|
using namespace std;
|
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|
#define int long long
|
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|
#define endl "\n"
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const int INF = 0x3f3f3f3f;
|
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|
const int N = 110;
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int dis[N][N], g[N][N];
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int n, m, ans;
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void floyd() {
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memcpy(dis, g, sizeof g);
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|
for (int k = 1; k <= n; k++) {
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// 最小环的DP操作
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for (int i = 1; i < k; i++) // 枚举i,j
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|
for (int j = i + 1; j < k; j++) // 注意i,j,k不能相同
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|
if (ans > dis[i][j] + g[i][k] + g[k][j])
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ans = dis[i][j] + g[i][k] + g[k][j];
|
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|
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|
for (int i = 1; i <= n; i++) // 原floyd
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|
|
for (int j = 1; j <= n; j++)
|
|
|
if (dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j])
|
|
|
dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
|
|
|
}
|
|
|
}
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|
|
signed main() {
|
|
|
while (cin >> n >> m && (~n && ~m)) {
|
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|
// 邻接矩阵初始化
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for (int i = 1; i <= n; i++)
|
|
|
for (int j = 1; j <= n; j++)
|
|
|
if (i == j)
|
|
|
g[i][j] = 0;
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|
|
else
|
|
|
g[i][j] = INF;
|
|
|
|
|
|
while (m--) {
|
|
|
int a, b, c;
|
|
|
cin >> a >> b >> c;
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|
|
g[a][b] = g[b][a] = min(c, g[a][b]); // 防重边
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|
}
|
|
|
ans = INF;
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|
|
floyd();
|
|
|
if (ans == INF)
|
|
|
puts("It's impossible.");
|
|
|
else
|
|
|
cout << ans << endl;
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
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|
|
### 六、传递闭包
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#### [$HDU$-$1704$ $Rank$](https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1704)
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|
**题意**
|
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|
给出$M$对胜负关系，胜负关系有传递性（若$A$胜$B$，$B$胜$C$则$A$胜$C$）, **求有多少对不能确定的胜负关系**
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|
|
**解法**：思路很简单，$floyd$ 一遍做传递闭包，然后暴力枚举就行辣，但是竟然会$TLE$，然后上网学了一种新的优化姿势（其实这种优化用处不大，但由于本题是非常稀疏的图，所以$O(N^3)$几乎变成了$O(N^2)$）
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|
```cpp {.line-numbers}
|
|
|
#include <bits/stdc++.h>
|
|
|
using namespace std;
|
|
|
#define inf 0x3f3f3f3f
|
|
|
const int N = 510;
|
|
|
int n, m, x, y, ans;
|
|
|
int g[N][N];
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|
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|
|
void floyd() {
|
|
|
for (int k = 1; k <= n; k++)
|
|
|
for (int i = 1; i <= n; i++) {
|
|
|
if (!g[i][k]) continue; // floyd优化
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|
for (int j = 1; j <= n; j++)
|
|
|
g[i][j] |= g[i][k] & g[k][j]; // 通过k传递,或运算
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|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
int main() {
|
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|
int T;
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|
cin >> T;
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|
while (T--) {
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|
cin >> n >> m;
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memset(g, 0, sizeof g);
|
|
|
while (m--) {
|
|
|
cin >> x >> y;
|
|
|
g[x][y] = 1; // x<y
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|
|
}
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|
|
// 计算传递闭包
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|
floyd();
|
|
|
|
|
|
ans = 0;
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|
for (int i = 1; i <= n; i++) // 统计答案
|
|
|
for (int j = i + 1; j <= n; j++)
|
|
|
if (!g[i][j] && !g[j][i]) ans++; // 无法确定大小关系
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|
|
cout << ans << endl;
|
|
|
}
|
|
|
return 0;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### 七、变形
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|
#### [$HDU$-$3631$ $Shortest$ $Path$](https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3631)
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**题意**
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有向图求$2$点间的最短路径，要求只能经过被标记的点
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|
**思路**
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由于只能用标记的点去更新，并且又要求任意两点之间的最短距离，显然$floyd$是最合适的。
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|
这道题要用$floyd$过的话关键就看对于$floyd$的理解了，因为只有标记的点可以走，为了节省时间，我们可以在新标记点的时候以那点为中转点进行一次$floyd$，这就避免了$n^3$的复杂度
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|
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|
|
|
```cpp {.line-numbers}
|
|
|
#include <bits/stdc++.h>
|
|
|
using namespace std;
|
|
|
#define inf 0x3f3f3f3f
|
|
|
const int N = 310;
|
|
|
int t, n, m, q;
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|
int g[N][N];
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bool flag[N]; // 记录是否标记
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int a, b, c;
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void floyd(int k) { // 以k为中转节点进行转移
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|
for (int i = 0; i < n; i++)
|
|
|
for (int j = 0; j < n; j++)
|
|
|
if (g[i][j] > g[i][k] + g[k][j])
|
|
|
g[i][j] = g[i][k] + g[k][j];
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
int main() {
|
|
|
// 加快读入
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ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
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|
while (cin >> n >> m >> q && n + m + q) {
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|
if (t) printf("\n"); // 谜之格式
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printf("Case %d:\n", ++t);
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|
|
|
|
// 整体正无穷，对角线清零
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|
memset(g, inf, sizeof g);
|
|
|
for (int i = 0; i <= n; i++) g[i][i] = 0;
|
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|
|
memset(flag, false, sizeof flag);
|
|
|
|
|
|
while (m--) {
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|
cin >> a >> b >> c;
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|
g[a][b] = min(c, g[a][b]); // floyd也可以跑有向图
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|
|
}
|
|
|
while (q--) {
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|
cin >> c;
|
|
|
if (c == 0) {
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|
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cin >> a;
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|
if (flag[a]) // 如果a已经被标记过了
|
|
|
printf("ERROR! At point %d\n", a);
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|
else {
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|
flag[a] = true; // 标记上
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|
|
floyd(a); // 通过a进行其它节点转移
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|
|
}
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|
|
} else {
|
|
|
cin >> a >> b;
|
|
|
if (!(flag[a] && flag[b]))
|
|
|
printf("ERROR! At path %d to %d\n", a, b);
|
|
|
else if (g[a][b] == inf)
|
|
|
printf("No such path\n");
|
|
|
else
|
|
|
printf("%d\n", g[a][b]);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
return 0;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
### 八、其它习题
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#### $SSL-1760$（商店选址）
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**题目**
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给出一个城市的地图（用邻接矩阵表示），商店设在一点，使各个地方到商店距离之和最短。
|
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|
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$Input$
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第一行为$n$（共有几个城市）； $N$小于$201$
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第二行至第$n+1$行为城市地图（用邻接矩阵表示）
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$Output$
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最短路径之和
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$Sample$ $Input$
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```cpp {.line-numbers}
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3
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0 3 1
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3 0 2
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1 2 0
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1
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2
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3
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4
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```
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$Sample$ $Output$
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```cpp {.line-numbers}
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3
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1
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```
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 210;
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int n, g[N][N];
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const int INF = 0x3f3f3f3f;
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int ans = INF;
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int main() {
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cin >> n;
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 1; j <= n; j++) {
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cin >> g[i][j];
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if (g[i][j] == 0 && i != j) g[i][j] = INF; // 建图(注意i==j要为0)
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}
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// floyd
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for (int k = 1; k <= n; k++)
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 1; j <= n; j++)
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if (g[i][j] > g[i][k] + g[k][j])
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g[i][j] = g[i][k] + g[k][j];
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int s;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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s = 0;
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for (int j = 1; j <= n; j++) s += g[i][j];
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if (s < ans) ans = s;
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}
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printf("%d", ans);
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return 0;
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}
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```
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#### [$P1828$ [$USACO3.2$] 香甜的黄油 $Sweet$ $Butter$](https://www.luogu.com.cn/problem/P1828)
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 814;
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const int INF = 0x3f3f3f3f;
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int id[N];
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int a, b, c, g[N][N], res = INF;
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int main() {
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#ifndef ONLINE_JUDGE
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freopen("P1828_11.in", "r", stdin);
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// 参考答案：8
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#endif
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// 加快读入
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ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
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int p, n, m; // p只奶牛，n个牧场，m条边
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cin >> p >> n >> m;
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memset(g, 0x3f, sizeof g);
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for (int i = 1; i <= n; i++) g[i][i] = 0; // 初始化
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for (int i = 1; i <= p; i++) cin >> id[i]; // i号奶牛，在id[i]这个牧场
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while (m--) {
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cin >> a >> b >> c;
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g[a][b] = g[b][a] = min(c, g[a][b]);
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}
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// 标准的Floyd板子
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for (int k = 1; k <= n; k++)
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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if (g[i][k] == INF) continue; // floyd小优化
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for (int j = 1; j <= n; j++)
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if (g[i][j] > g[i][k] + g[k][j])
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g[j][i] = g[i][j] = g[i][k] + g[k][j];
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}
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for (int i = 1; i <= n; i++) { // 每个牧场出发
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int ans = 0;
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for (int j = 1; j <= p; j++) ans += g[i][id[j]];
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if (ans >= 0) res = min(res, ans);
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}
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printf("%d", res);
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return 0;
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}
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```
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SSL-1761（城市问题）
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#### [$P1364$ 医院设置](https://www.luogu.com.cn/problem/P1364)
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SSL-1613=CCF1342（最短路径问题）
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