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巧用隔板法快速攻破排列组合难题
如果让你把7个大小相同的橘子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少分到1个橘子，问一共有多少种不同的分法？
看完问题后，你能快速得出答案吗？如果难倒你的话，那就说明你对排列组合中的隔板法还不太了解哦！
首先，让我们一起来正确认识一下隔板法
隔板法主要针对的是 相同元素 的不同分堆问题。我们也可以把它理解为：
如果把n个相同的元素分给m个不同的对象，每个对象 至少有一个 ，问有多少种不同的分法的问题。其基本公式为：
\large C_{n-1}^{m-1}然后，再来看一下隔板法都有哪些题型特征
隔板法一共有三种题型：①标准型、②多分型、③少分型，后两种都需要基于 标准型 来解题，具体要怎么操作呢？下面我们再来通过3个例题分别介绍一下隔板法的三种题型特征及应用，接着往下看
1、标准型
标准型需要同时具备的3个要求：
- 被分配的
n个元素无差别 - 这
n个元素分给m个不同对象 - 每个对象至少分 一个 元素
【解析】正确答案为C。
【解题思路】本题中相同的元素是6本相同的书，故n=6；放进4个抽屉，即将书分成4堆，故m=4；每个抽屉至少放1本书，故本题为隔板法中的标准题型。
【解题方法】把6本书排成一排，因为书是相同的，不存在排列顺序问题。要把这6本书分成4堆，只要在这6本书形成的空隙中插入5个隔板即可。6本书排成一排，形成了7个空。但是，因为要求每个抽屉至少放1本书，所以最前面的空和最后一个空是不能插板的，则只能在中间形成的5个空中插入3个隔板，即从5个空中选择3个空插入隔板，代入公式：
2、多分型
多分型需要同时具备的3个要求：
- 被分配的
n个元素无差别 - 这
n个元素分给m个不同的对象 - 每个对象至少分
x个元素
【解析】正确答案为D。
【解题思路】此题中没有要求至少发1份，而是要求至少发9份的，因此需要将其 转化 为标准型的隔板模型，方法就是 先每个部门分x-1个元素，剩下的元素就转化为每个部门至少分一个元素了。
【解题方法】假设三个部门分别为A、B、C，每个部门可以先分8份，然后再把剩下的6份发给3个部门，保证每个部门发1份，代入公式：
3、少分型
少分型需要同时具备的3个要求：
- 被分配的
n个元素无差别 - 这
n个元素被分给m个不同的对象 - 被任意分给这
m个不同的对象
【解析】正确答案为B。
【解题思路】这道题中说每个盒子可以为空，就意味着有的盒子可以分0个元素，因此可以采用 先借后还 的思路，先向每一个盒子借一个元素，总共就会有n个元素了，由于借了一个元素，接下来在分的时候，每个盒子则 至少需要分一个，这样就 转化 成了 标准的隔板模型。
【解题方法】在分之前先向每个盒子借3个小球，总共就会有23个小球，接下来分的时候需要再给每个盒子一个小球，就变成每个盒子至少分一个小球了，有多少种分法，代入公式：
以上就是今天所讲的排列组合之隔板法的运用了，希望大家理解并能熟练运用！
【上文解锁】一共有20种不同的分法，你做对了吗？
【解析】此题为隔板法的标准型，因为相同的元素是7个大小相同的橘子，故n=7；给4个小朋友，故m=4；所以只要在这7个橘子6个空之间插入3个隔板即可，代入公式：
回到本题
15个笔记本，分给3个小朋友，每人最少分4个，属于【多分型】,先每人分3个，预处理一下：
\large 15-3*3=6\LARGE ○ ○ ○ ○ ○ ○属于在5个有用的 空格 中选择2个,即
\large C_5^2=\frac{5\times 4}{ 2 \times 1}=10