python/TangDou/Topic/SpareTire.cpp

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl "\n"

const int mod = 1e9 + 7; // 尽量这样定义mod ，减少非必要的麻烦

// 快速幂
int qmi(int a, int b) {
    int res = 1;
    a %= mod;
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * a % mod;
        b >>= 1;
        a = a * a % mod;
    }
    return res;
}

vector<int> p; // 将m拆分成的质数因子序列p

signed main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("SpareTire.in", "r", stdin);
#endif
    int n, m;

    int Six = qmi(6, mod - 2); // 因为需要用到 % 1e9+7 下6的逆元，用费马小定理+快速幂求逆元
    int Two = qmi(2, mod - 2); // 因为需要用到 % 1e9+7 下2的逆元，用费马小定理+快速幂求逆元

    while (cin >> n >> m) {
        // 所结果拆分为平方和公式，等差数列两部分
        // 注意：现在求的是整体值，还没有去掉不符合条件的数字
        int first = n * (n + 1) % mod * (2 * n + 1) % mod * Six % mod;
        int second = n * (n + 1) % mod * Two % mod;
        int res = (first + second) % mod;

        // 对m进行质因子分解
        int t = m; // 复制出来
        for (int i = 2; i * i <= t; i++) {
            if (t % i == 0) {
                p.push_back(i);
                while (t % i == 0) t = t / i;
            }
        }
        if (t > 1) p.push_back(t);

        /*
          容斥原理
          例如有3个因子，那么1<<3=8(1000二进制)
          然后i从1开始枚举直到7(111二进制），i中二进制的位置1表式取这个位置的因子
          例如i=3(11二进制) 表示取前两个因子，i=5（101）表示取第1个和第3个的因子
        */
        int s = 0;
        for (int i = 1; i < (1 << p.size()); i++) {
            int cnt = 0, t = 1;
            for (int j = 0; j < p.size(); j++)
                if ((i >> j) & 1) {
                    cnt++;
                    t *= p[j];
                }

            // 比如找到了s=6=2*3，需要知道s是奇数个，还是偶数个因子
            // n/s:范围内6的倍数有多少个
            int k = n / t;
            int x = k * (k + 1) % mod * (2 * k + 1) % mod * Six % mod;
            x = x * t % mod * t % mod; // 乘上t^2
            // 还需要累加等差数列部分
            // 首项是t,项数是k,末项 t*k
            x = (x + k * (t + t * k) % mod * Two % mod) % mod;

            if (cnt & 1)
                s = (s + x) % mod;
            else
                s = (s - x + mod) % mod;
        }
        // 输出
        cout << (res - s + mod) % mod << endl;
    }
}