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## 巧用隔板法快速攻破排列组合难题
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**问题**：如果让你把$7$个大小相同的橘子分给$4$个小朋友，要求每个小朋友至少分到$1$个橘子，问一共有多少种不同的分法？
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看完问题后，你能快速得出答案吗？如果难倒你的话，那就说明你对排列组合中的隔板法还不太了解哦！
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**首先，让我们一起来正确认识一下隔板法**
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隔板法主要针对的是 **相同元素** 的不同分堆问题。我们也可以把它理解为：
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如果把$n$个相同的元素分给$m$个不同的对象，每个对象 **至少有一个** ，**问有多少种不同的分法的问题**。其基本公式为：
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$$\large C_{n-1}^{m-1}$$
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**然后，再来看一下隔板法都有哪些题型特征**
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隔板法一共有三种题型：**①标准型、②多分型、③少分型**，后两种都需要基于 **标准型** 来解题，具体要怎么操作呢？下面我们再来通过$3$个例题分别介绍一下隔板法的三种题型特征及应用，接着往下看
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<center><img src='https://pic2.zhimg.com/v2-8d1871f1b8b4c562d301b4572a79b7e5_b.webp'></center>
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#### 1、标准型
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标准型需要同时具备的$3$个要求：
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* 被分配的$n$个元素无差别
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* 这$n$个元素分给$m$个不同对象
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* 每个对象至少分 **一个** 元素
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**【解析】正确答案为$C$。**
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【解题思路】本题中相同的元素是$6$本相同的书，故$n=6$；放进$4$个抽屉，即将书分成$4$堆，故$m=4$；每个抽屉至少放$1$本书，故本题为隔板法中的标准题型。
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【解题方法】把$6$本书排成一排，因为书是相同的，不存在排列顺序问题。要把这$6$本书分成$4$堆，只要在这$6$本书形成的空隙中插入$3$个隔板即可。$6$本书排成一排，形成了$7$个空。但是，因为要求每个抽屉至少放$1$本书，所以最前面的空和最后一个空是不能插板的，则只能在中间形成的$5$个空中插入$3$个隔板，即从$5$个空中选择$3$个空插入隔板，代入公式：
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<center><img src='https://pic1.zhimg.com/80/v2-5ba7bf9f7add0fd56372474c63596060_1440w.webp'></center>
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#### 2、多分型
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多分型需要同时具备的$3$个要求：
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* 被分配的$n$个元素无差别
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* 这$n$个元素分给$m$个不同的对象
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* 每个对象至少分$x$个元素
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<center><img src='https://pic4.zhimg.com/80/v2-7a5a09f2f317c97d06d7d34b17fdd57b_1440w.webp'></center>
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**【解析】正确答案为$D$。**
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【解题思路】此题中没有要求至少发$1$份，而是要求至少发$9$份的，因此需要将其 **转化** 为标准型的隔板模型，方法就是 **先每个部门分$x-1$个元素，剩下的元素就转化为每个部门至少分一个元素了**。
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【解题方法】假设三个部门分别为$A、B、C$，每个部门可以先分$8$份，然后再把剩下的$6$份发给$3$个部门，保证每个部门发$1$份，**代入公式**：
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<center><img src='https://pic2.zhimg.com/80/v2-c98fb6ab48df65214626b43914de67c9_1440w.webp'></center>
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#### $3$、少分型
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少分型需要同时具备的$3$个要求：
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* 被分配的$n$个元素无差别
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* 这$n$个元素被分给$m$个不同的对象
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* 被任意分给这$m$个不同的对象
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<center><img src='https://pic2.zhimg.com/80/v2-08be951c208da9a8c560d86c353aa8d1_1440w.webp'></center>
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【**解析**】正确答案为$B$。
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【**解题思路**】这道题中说每个盒子可以为空，就意味着有的盒子可以分$0$个元素，因此可以采用 **先借后还** 的思路，先向每一个盒子借一个元素，总共就会有$n$个元素了，由于借了一个元素，接下来在分的时候，每个盒子则 **至少需要分一个**，这样就 **转化** 成了 **标准的隔板模型**。
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【**解题方法**】在分之前先向每个盒子借$3$个小球，总共就会有$23$个小球，接下来分的时候需要再给每个盒子一个小球，就变成每个盒子至少分一个小球了，有多少种分法，代入公式：
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<center><img src='https://pic2.zhimg.com/80/v2-847624b34f207f6ec7e6d3f556a75511_1440w.webp'></center>
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以上就是今天所讲的排列组合之隔板法的运用了，希望大家理解并能熟练运用！
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【**上文解锁**】一共有$20$种不同的分法，你做对了吗？
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【**解析**】此题为隔板法的标准型，因为相同的元素是$7$个大小相同的橘子，故$n=7$；给$4$个小朋友，故$m=4$；所以只要在这$7$个橘子$6$个空之间插入$3$个隔板即可，代入公式：
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<center><img src='https://pic3.zhimg.com/80/v2-c78295406b71842e6df90f4b1458e082_1440w.webp'></center>
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### 回到本题
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$15$个笔记本，分给$3$个小朋友，每人最少分$4$个，属于【多分型】,先每人分$3$个，预处理一下：
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$$\large 15-3*3=6$$
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$$\LARGE ○ ○ ○ ○ ○ ○$$
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属于在$5$个有用的 **空格** 中选择$2$个,即
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$$\large C_5^2=\frac{5\times 4}{ 2 \times 1}=10$$ |
