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## [指数循环节&欧拉降幂](https://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8236942)
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### 一、问题
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比如计算 $$\large A^B \ \% \ C$$
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其中$1 \leq B \leq 10^{20000000}$ 和 $1 \leq C \leq 10^6$
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$b$过大，使用暴力和快速幂是无法求解的。
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### 二、扩展欧拉定理公式
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- ① 当$B \geq \phi(C)$时：
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$$\large A^B \% C = A^{B \% \phi(C)+\phi(C)} \% C $$
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> 这是广义降幂公式，不要求$A$与$C$互质！
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- ② 当$B<φ(C)$时，就没有降幂的必要了
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### 三、练习题
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**[$P5091$ 【模板】扩展欧拉定理](https://www.luogu.com.cn/problem/P5091)**
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**题意**：
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给定$A$,$B$和$C$的值，求$A^B \ mod \ C$的值。其中$1 \leq A,C \leq 10^9,1 \leq B \leq 10 ^{1000000}$。
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**特点**
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欧拉降幂，模板题
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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#define int long long
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#define endl "\n"
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const int N = 2000010;
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// 求单个数字的欧拉函数
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int phi(int x) {
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int res = x;
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for (int i = 2; i <= x / i; i++)
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if (x % i == 0) {
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res = res / i * (i - 1);
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while (x % i == 0) x /= i;
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}
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if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
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return res;
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}
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// 快速幂
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int qmi(int a, int b, int p) {
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int res = 1;
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a %= p;
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while (b) {
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if (b & 1) res = res * a % p;
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b >>= 1;
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a = a * a % p;
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}
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return res;
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}
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signed main() {
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int a, c;
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cin >> a >> c;
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int p = phi(c);
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// 将非数字字符，比如空格读没
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char ch;
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ch = getchar();
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while (ch < '0' || ch > '9') ch = getchar();
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// 当是数字字符时，一直读入
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int b = 0;
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while (ch >= '0' && ch <= '9') {
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b = b * 10 + ch - '0';
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if (b >= p) // 检查b是否大于等于phi(c)
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b = b % p + p;
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// 继续读入下一个字符
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ch = getchar();
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}
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printf("%lld\n", qmi(a, b, c)); // 按快速幂来计算就行了
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}
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```
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**[$HDU2837$ $Calculation$](https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2837)**
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**题意**：$f(0) = 1$ $and$ $0^0=1$. $f(n) = (n\%10)^{f(n/10)}$ 求$f(n)\%m$。
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就递归加指数循环节，
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$$\large f(n)\%m = (n\%10)^{f(n/10)\% \phi(m)+ \phi(m)}\%m$$
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然后继续计算一下指数部分：
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$f \large (n/10)\%\phi(m)=(n/10\%10)^{f(n/10/10)\%\phi(\phi(m))+\phi(\phi(m))}\%\phi(m)$
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一层层递归，直到$n==0$的话，此时$0^0=1$，就返回$1\%$当前要$mod$的那个数了，
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我们设当前$dfs$到的层中表达式为$f(x)$，当前的$\phi$为$\phi(y)$,
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我们需要判断$f(x)$是不是大于$phi(y)$,如果大于则用扩展欧拉定理进行进步化化简，否则直接计算。
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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#define int long long
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#define endl "\n"
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// 求单个数字的欧拉函数
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int phi(int x) {
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int res = x;
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for (int i = 2; i <= x / i; i++)
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if (x % i == 0) {
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res = res / i * (i - 1);
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while (x % i == 0) x /= i;
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}
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if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
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return res;
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}
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// 快速幂
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int qmi(int a, int b, int p) {
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int res = 1;
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a %= p;
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while (b) {
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if (b & 1) res = res * a % p;
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b >>= 1;
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a = a * a % p;
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}
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return res;
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}
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// a^b 与 c 谁大谁小？
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// 返回 a^x<=c的第一个a^x,其中x ∈ [1,b]
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// 如果跑完b，还是 a^b <=c, 就返回 a^b
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int check(int a, int b, int c) {
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int res = 1;
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while (b--) {
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res *= a;
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if (res >= c) return res;
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}
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return res;
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}
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int dfs(int a, int c) {
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if (a == 0) return 1;
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int p = phi(c);
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// f(n/10)
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int x = dfs(a / 10, p);
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int y = check(a % 10, x, c);
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if (y >= c) {
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int res = qmi(a % 10, x + p, c);
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if (res == 0) res += c;
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return res;
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} else
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return y;
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}
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signed main() {
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int T;
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cin >> T;
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while (T--) {
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int a, c;
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cin >> a >> c;
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cout << dfs(a, c) % c << endl;
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}
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}
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```
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> <font color='red' size=4><b>注：这个代码没看懂，$TODO$，待续</b></font>
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[$HDU4335$ $What$ $is$ $N?$](https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4335)
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题意：给定$3$个整数$b,p,M$，其中$0 \leq b <p,1 \leq p \leq 10^5 $和$1 \leq M \leq 2^{64}-1$，求满足下面两个条件的$n$ 的个数。
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**分析**：
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由$$\large n ^{n! \% \phi(p)+\phi(p)} \% p \equiv b$$
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所以这样就容易多了，注意有个特判。
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BZOJ3884: 上帝与集合的正确用法
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https://www.cnblogs.com/jiecaoer/p/11442358.html
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TODO 挖坑等填
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https://www.cnblogs.com/LMCC1108/p/11252888.html |
