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## [【数据结构】$ST$表-$RMQ$问题](https://www.lyroch.site/posts/e62206d1/)
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$RMQ$($Range$ $Maximum(Minimum)$ $Query$)问题，查询区间最大值或最小值，相比线段树，为静态查询，复杂度$O(nlogn)$
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#### 作用
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查询区间 **最大值** 或 **最小值**
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#### 复杂度
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- $O(nlogn)$ 预处理
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- $O(1)$ 查询
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#### 算法：倍增思想
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以最大值为例，最小值取$min$同理
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### $ST$算法
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**1、预处理**
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**状态表示**
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设$a[i]$是要求区间最值的数列，$f[i][j]$表示 **从第$i$个数起连续$2^j$个数中的最大值**
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**举栗子**：
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$a$数列为：$$\large 3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 $$
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$f[1][0]$表示第$1$个数起，长度为$2^0=1$的最大值，其实就是$3$这个数。
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$f[1][1] = max(3,2) = 3$
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$f[1][2]=max(3,2,4,5) = 5$
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$f[1,3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8$;
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**初始值**
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可以容易的看出$f[i,0]$就等于$a[i]$。（$dp$的**初始值**）
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**状态转移**
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$$\large f[i,j] = max(f[i,j-1],f[i+2^{j-1},j-1])$$
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<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2022/07/04/64630_bc14d198fb-1.jpg'></center>
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这样的话可以在$nlogn$的时间下完成$f$数组的建立，下边是区间最大值的查询，对于区间$[l,r]$，存在一个$k$使得$r-l+1>=2^k$且$r-l+1<2^{k+1}$,这样的话区间$[l,r]$的最大值就是$max(f[l,k],f[r-2^k+1,k])$,查询可以在常数级完成。
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**$Q$:为什么$j$是外循环而$i$是内循环?**
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能不能 **调换**一下嘞？
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答案是 **不可以** 。
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你可以这样来理解：动态规划体现在二维数组形式上，就是一个二维填表的过程，可能采用的顺序是：
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- 从左到右，从上到下去填写
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- 从上到下，从左到右去填写
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- 从右下角向左上角去填写
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- ....
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具体该怎么填写，其实是和实际场景相关的，必须保证无后效性，就是这块填写完了就是填写完了，不能一会用到时说还没有填写，那就彼此依赖不上了。本题如果按列填写，就是$j$依赖于$j-1$,也就是按列，可以完成任务。如果是按行，你会发现$i$是东一下，西一下，跳来跳去，整不好就在下一个要用到前序数字时，它还没有完成填充，这样彼此就无法实现依赖了！因此需要先枚举$j$，再枚举$i$。
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**查询**
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如何确定$k$呢？
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对于每个查询 $[l,r]$，需要先找出最大的一个满足 $\large 2^k<len$ 的 $\large k$，其中
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$len=r−l+1$，方法就是两边求对数：
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$$\large log_2{2^k}<log_2(len) \\
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\Rightarrow \\
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k<log_2(len)
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$$
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$k$要想取最大的整数，就是$(int)(log_2(len))$
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如果是给整数赋值，就不用写强制转换，故直接写成：
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```c++
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int k = log2(len);
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```
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**构造交集**
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查询时通过构建$2^k$的方法，造成$\large [a,a+2^k-1]$与$\large [b-2^k+1,b]$存在一个交集，分别求$f(a,k)$与$f(b-2^k+1,k)$，然后取一个$max$就是答案，虽然这里有一部分是重复的，但求最大值不怕重复！同时，也因为这个原因，使得$st$算法，也就只能用来计算最大最小值，不能用来处理其它需求。
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### 三、实现代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 200010, M = 18;
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int n, m;
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int w[N];
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int f[N][M];
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void rmq() {
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for (int j = 0; j < M; j++) // 注意是j在外层
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for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) // i在内层
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if (j == 0) // base case 边界值
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f[i][j] = w[i];
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else
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f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
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}
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int query(int l, int r) {
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int len = r - l + 1;
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int k = log2(len);
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return max(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]);
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}
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int main() {
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cin >> n;
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for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i];
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rmq(); // ST表初始化
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cin >> m;
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while (m--) {
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int l, r;
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cin >> l >> r;
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printf("%d\n", query(l, r));
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}
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return 0;
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}
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```
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https://www.acwing.com/problem/content/description/1275/
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