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##[$AcWing$ $122$ 糖果传递](https://www.acwing.com/problem/content/description/124/)
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### 一、题目描述
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有 $n$ 个小朋友坐成一圈，每人有 $a[i]$ 个糖果。
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**每人只能给左右两人传递糖果**。
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每人每次传递一个糖果代价为 $1$。
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**求使所有人获得均等糖果的最小代价**。
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**输入格式**
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第一行输入一个正整数 $n$，表示小朋友的个数。
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接下来 $n$ 行，每行一个整数 $a[i]$，表示第 $i$ 个小朋友初始得到的糖果的颗数。
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**输出格式**
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输出一个整数，表示最小代价。
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**数据范围**
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$1≤n≤1000000,0≤a[i]≤2×10^9,$数据保证一定有解。
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**输入样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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4
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1
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2
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5
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4
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```
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**输出样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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4
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```
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### 二、解题思路
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<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2022/07/02/64630_83fc3636f9-2.png'></center>
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* 假设第$1$个小朋友有$a_1$颗糖果，给第$2$个小朋友$x_1$颗糖果，从$n$获得$x_n$颗糖果，此时，他有$a_1-x_1+x_n$颗糖果，同理，第$2$个有$a_2-x_2+x_1$，第$3$有...
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* 每个小朋友的目标为平均数$avg$,列出约束方程为
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$$\large \left\{\begin{matrix}
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a_1-x_1+x_n=avg & \\
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a_2-x_2+x_1=avg & \\
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a_3-x_3+x_2=avg & \\
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... \\
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a_n-x_n+x_{n-1}=avg
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\end{matrix}\right.
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$$
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我们的目标：
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<font color='red' size=4><b>
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$$\large min(|x_1|+|x_2|+...+|x_n|)$$
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</b></font>
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下面，我们用$x_n$来表示上面的方程组：替代$x_1,x_2,...,x_{n-1}$
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$$\large \left\{\begin{array}{l}
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x_1=a_1+x_n-avg \\
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x_2=a_2+x_1-avg =(a_1+a_2)-2*avg+x_n & \\
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x_3=a_3+x_2-avg =(a_1+a_2+a_3)-3*avg+x_n & \\
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... \\
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x_{n-1}=(a_1+a_2+...+a_{n-1})-(n-1)*avg+x_n & \\
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\end{array}\right.
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$$
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将$x_k$定为变量 , <font color='blue' size=4><b>常数</b></font> 定义为$c_k$，则：
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$$\large \displaystyle c_k=\sum_{i=1}^{k}a_i -k*avg$$
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有：
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$$\large \left\{\begin{array}{l}
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x_1=c_1+x_n \\
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x_2=c_2+x_n \\
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... \\
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x_{n-1}=c_{n-1}+x_n
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\end{array}\right.
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$$
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因为$x_1,x_n$都是可正可负的，正的表示把这些糖果给了别人，负的表示别人把这些糖果给了自己。
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所以，可以令$x_n'=-x_n$
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上面的方程组转化为
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$$\large \left\{\begin{array}{l}
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x_1=c_1-x_n' \\
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x_2=c_2-x_n' \\
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... \\
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x_{n-1}=c_{n-1}-x_n'
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\end{array}\right.
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$$
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此时，我们的目标也就转化为:
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$$\large min(|c_1-x_n'|+|c_2-x_n'|+...+|c_{n-1}-x_n'|)$$
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**注意到** $|c_i-x_n'|$的几何意义是数轴上的点$c_i$到$x_n'$的距离，所以问题变成了：
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> **给定数轴上的$n$个点，找出一个到他们的距离之和尽量小的点，而这个点就是这些数中的中位数,问题再次转化为经典问题：
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**[$AcWing$ $104$.仓库选址](https://www.acwing.com/problem/content/106/)** ，只需要求中位数和其他数的差值的总和就可以了。**
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### 三、实现代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1000010;
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typedef long long LL;
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LL a[N], c[N], sum, avg, n, res;
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int main() {
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// 加快读入
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ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
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cin >> n;
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for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i], sum += a[i];
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avg = sum / n;
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// c[k]=(a[1]+a[2]+...+a[k])-k*avg
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// c[k-1]=(a[1]+a[2]+...+a[k-1])-(k-1)*avg
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// 努力找出c[k]与 c[k-1]之间的递推关系：
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// c[k]=c[k-1]+a[k]-avg
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// 所以,c数组可以通过递推得到
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for (int k = 1; k <= n; k++) c[k] = c[k - 1] + a[k] - avg;
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// 通过排序 => c[(n+1)/2] = 中位值
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sort(c + 1, c + n + 1);
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// 将x_n'放到中位值处，这样，几何含义上所有n 个位置上c1,c2,...cn到中位值的距离绝对值和最小
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for (int i = 1; i <= n; i++) res += abs(c[i] - c[(n + 1) / 2]);
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cout << res << endl;
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return 0;
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}
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``` |
