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3.9 KiB
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一、题目描述
有 n 个小朋友坐成一圈，每人有 a[i] 个糖果。
每人只能给左右两人传递糖果。
每人每次传递一个糖果代价为 1。
求使所有人获得均等糖果的最小代价。
输入格式
第一行输入一个正整数 n，表示小朋友的个数。
接下来 n 行，每行一个整数 a[i]，表示第 i 个小朋友初始得到的糖果的颗数。
输出格式 输出一个整数，表示最小代价。
数据范围
1≤n≤1000000,0≤a[i]≤2×10^9,数据保证一定有解。
输入样例：
4
1
2
5
4
输出样例：
4
二、解题思路
-
假设第
1个小朋友有a_1颗糖果，给第2个小朋友x_1颗糖果，从n获得x_n颗糖果，此时，他有a_1-x_1+x_n颗糖果，同理，第2个有a_2-x_2+x_1，第3有... -
每个小朋友的目标为平均数
avg,列出约束方程为\large \left\{\begin{matrix} a_1-x_1+x_n=avg & \\ a_2-x_2+x_1=avg & \\ a_3-x_3+x_2=avg & \\ ... \\ a_n-x_n+x_{n-1}=avg \end{matrix}\right.我们的目标：
$\large min(|x_1|+|x_2|+...+|x_n|
下面，我们用x_n来表示上面的方程组：替代x_1,x_2,...,x_{n-1}
\large \left\{\begin{array}{l}
x_1=a_1+x_n-avg \\
x_2=a_2+x_1-avg =(a_1+a_2)-2*avg+x_n & \\
x_3=a_3+x_2-avg =(a_1+a_2+a_3)-3*avg+x_n & \\
... \\
x_{n-1}=(a_1+a_2+...+a_{n-1})-(n-1)*avg+x_n & \\
\end{array}\right.
将x_k定为变量 , 常数 定义为c_k，则：
$$\large \displaystyle c_k=\sum_{i=1}^{k}a_i -k*a有：
\large \left\{\begin{array}{l}
x_1=c_1+x_n \\
x_2=c_2+x_n \\
... \\
x_{n-1}=c_{n-1}+x_n
\end{array}\right.
因为x_1,x_n都是可正可负的，正的表示把这些糖果给了别人，负的表示别人把这些糖果给了自己。
所以，可以令x_n'=-x_n
上面的方程组转化为
\large \left\{\begin{array}{l}
x_1=c_1-x_n' \\
x_2=c_2-x_n' \\
... \\
x_{n-1}=c_{n-1}-x_n'
\end{array}\right.
此时，我们的目标也就转化为:
\large min(|c_1-x_n'|+|c_2-x_n'|+...+|c_{n-1}-x_n'|)注意到 |c_i-x_n'|的几何意义是数轴上的点c_i到x_n'的距离，所以问题变成了：
给定数轴上的
n个点，找出一个到他们的距离之和尽量小的点，而这个点就是这些数中的中位数,问题再次转化为经典问题：AcWing104.仓库选址 ，只需要求中位数和其他数的差值的总和就可以了。
三、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000010;
typedef long long LL;
LL a[N], c[N], sum, avg, n, res;
int main() {
// 加快读入
ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i], sum += a[i];
avg = sum / n;
// c[k]=(a[1]+a[2]+...+a[k])-k*avg
// c[k-1]=(a[1]+a[2]+...+a[k-1])-(k-1)*avg
// 努力找出c[k]与 c[k-1]之间的递推关系：
// c[k]=c[k-1]+a[k]-avg
// 所以,c数组可以通过递推得到
for (int k = 1; k <= n; k++) c[k] = c[k - 1] + a[k] - avg;
// 通过排序 => c[(n+1)/2] = 中位值
sort(c + 1, c + n + 1);
// 将x_n'放到中位值处，这样，几何含义上所有n 个位置上c1,c2,...cn到中位值的距离绝对值和最小
for (int i = 1; i <= n; i++) res += abs(c[i] - c[(n + 1) / 2]);
cout << res << endl;
return 0;
}